(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

고3 수학/(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 공통과목

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 mathjourney 2026. 5. 28. 11:00

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 II - 도함수의 활용)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

두 상수

a, b

에 대하여 삼차함수

f (x) = a x^{3} + b x + a

는

x = 1

에서 극소이다. 함수

f (x)

의 극솟값이

- 2

일 때, 함수

f (x)

의 극댓값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차함수의 극값의 성질을 이용하여 미정계수를 구하고, 이를 바탕으로 극댓값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

f (x) = a x^{3} + b x + a

x = 1

에서 극소
- 극솟값은

- 2

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수를 이용하여 미정계수를 구하고 극댓값을 찾는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $f^{'} (1) = 0$ 임을 이용하여 $a$ 와 $b$ 의 관계식을 세웁니다.

step2. $f (1) = - 2$ 임을 이용하여 $a$ 와 $b$ 의 값을 구합니다.

step3. 완성된 $f (x)$ 의 도함수를 구하여 극댓값을 갖는 $x$ 의 위치를 찾고, 극댓값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 극값의 성질: 다항함수 $f (x)$ 가 $x = c$ 에서 극값을 가지면 $f^{'} (c) = 0$ 이다.

5. 구체적 풀이

step1. $f (x) = a x^{3} + b x + a$ 에서 도함수를 구하면 $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + b$ 입니다. 함수 $f (x)$ 가 $x = 1$ 에서 극소이므로 $f^{'} (1) = 0$ 이어야 합니다. 따라서 $3 a + b = 0$ 이 되어 $b = - 3 a$ 라는 관계식을 얻을 수 있습니다.

step2. $x = 1$ 에서 극솟값이 $- 2$ 이므로 $f (1) = - 2$ 입니다. 이를 식에 대입하면 $a (1)^{3} + b (1) + a = - 2$ , 즉 $2 a + b = - 2$ 가 됩니다. 앞서 구한 $b = - 3 a$ 를 대입하면 $2 a - 3 a = - 2$ 이므로 $- a = - 2$ , 즉 $a = 2$ 입니다. 따라서 $b = - 6$ 이 됩니다.

step3. $a$ 와 $b$ 의 값을 대입하여 함수를 완성하면 $f (x) = 2 x^{3} - 6 x + 2$ 입니다. 도함수는 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 = 6 (x - 1) (x + 1)$ 이 됩니다. $f^{'} (x) = 0$ 을 만족하는 $x$ 의 값은 $x = 1$ 과 $x = - 1$ 입니다. $x = 1$ 에서 극소이므로, $x = - 1$ 에서 극대임을 알 수 있습니다. 따라서 극댓값은 $f (- 1) = 2 (- 1)^{3} - 6 (- 1) + 2 = - 2 + 6 + 2 = 6$ 입니다.

[키포인트] 다항함수가 특정 $x$ 에서 극값을 가지면 그 점에서의 미분계수가 $0$ 이 된다는 성질을 이용하여 미정계수를 구하는 것이 핵심입니다.

[함정경고] $f^{'} (1) = 0$ 조건만 사용하고 $f (1) = - 2$ 조건을 놓치면 $a, b$ 의 값을 확정할 수 없으므로, 두 조건을 모두 사용하여 연립방정식을 세워야 합니다.

[정답] 6

⚡ 실전용 풀이

step1. $f^{'} (1) = 0$ 이용

$f (x) = a x^{3} + b x + a$

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + b$

$f^{'} (1) = 3 a + b = 0 ⟹ b = - 3 a$

step2. $f (1) = - 2$ 이용

$f (1) = a + b + a = 2 a + b = - 2$

$2 a - 3 a = - 2 ⟹ a = 2, b = - 6$

step3. 극댓값 계산

$f (x) = 2 x^{3} - 6 x + 2$

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 = 6 (x - 1) (x + 1) = 0$

$x = - 1$ 에서 극대

$f (- 1) = - 2 + 6 + 2 = 6$

$∴ 6$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

극값을 가질 때의 조건인 $f^{'} (x) = 0$ 과 함숫값 조건을 연립하여 미정계수를 구하는 과정에서 식을 세우지 못해 막힐 수 있습니다. 특히 극솟값이 주어졌을 때 이를 함숫값으로 연결하지 못하는 경우가 많습니다.

🔑 돌파구

$x = 1$ 에서 극솟값 $- 2$ 를 가진다는 것은 $f^{'} (1) = 0$ 과 $f (1) = - 2$ 라는 두 가지 조건을 동시에 의미함을 기억하고, 이를 연립하여 $a, b$ 를 구하세요. 극값 조건은 항상 미분계수와 함숫값 두 개의 힌트를 줍니다.

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