(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분, 도함수의 활용)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

정수 $a(a\ne 0)$에 대하여 함수 $f(x)=x^3-2a{x}^2$이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$가 되도록 하는 $a$에 대하여 $f^{\prime }(10)$의 값을 구하시오. 조건: 함수 $f(x)$에 대하여 $\left\{\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right\}\times \left\{\frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}\right\}<0$을 만족시키는 세 실수 $x_1,x_2,x_3$이 열린구간 $(k,k+\frac{3}{2})$에 존재한다.

1. 문제의 요지

이 문제는 평균변화율의 곱이 음수라는 조건을 통해 구간 내 극값의 존재를 파악하고, 이를 만족하는 정수 조건으로부터 미지수를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=x^3-2a{x}^2$ ($a$는 $0$이 아닌 정수)
- 열린구간 $(k,k+\frac{3}{2})$ 내에 $\left\{\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right\}\times \left\{\frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}\right\}<0$ 을 만족하는 세 실수 $x_1,x_2,x_3$ 존재
- 조건을 만족하는 모든 정수 $k$의 값의 곱은 $-12$

3. 풀이의 순서

이 문제는 평균변화율의 곱이 음수라는 조건을 통해 구간 내 극값의 존재성을 파악하고, 이를 만족하는 정수 k의 조건을 부등식으로 세워 a를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 평균변화율 조건이 구간 내에 극값이 존재한다는 의미임을 파악하고, 도함수를 통해 극값의 $x$ 좌표를 찾습니다.

step2. 극값의 $x$ 좌표가 구간 $(k,k+1.5)$에 속할 조건을 부등식으로 나타냅니다.

step3. $x=0$에서 나오는 $k$의 값을 구하고, 나머지 $k$들의 곱이 $12$가 되는 조건을 찾습니다.

step4. 구간의 길이를 고려하여 가능한 $k$의 조합을 찾고, 이를 만족하는 정수 $a$를 구합니다.

step5. 구한 $a$를 바탕으로 $f^{\prime }(10)$을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 평균값 정리: 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능할 때, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$를 만족하는 $c$가 $(a,b)$에 적어도 하나 존재한다. 이를 통해 평균변화율의 부호 변화가 도함수의 부호 변화, 즉 극값의 존재를 의미함을 알 수 있다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] $\left\{\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right\}\times \left\{\frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}\right\}<0$ 이라는 조건은 세 점 사이의 평균변화율의 부호가 바뀐다는 뜻입니다. 다항함수에서는 이 구간 내에 도함수의 부호가 바뀌는 점, 즉 극값이 존재한다는 것을 의미합니다.

step1. 극값의 $x$ 좌표 구하기

함수 $f(x)=x^3-2a{x}^2$ 의 도함수를 구하면 다음과 같습니다.

$f^{\prime }(x)=3x^2-4ax=x(3x-4a)$

$f^{\prime }(x)=0$ 을 만족하는 $x$ 값은 $x=0$ 또는 $x=\frac{4a}{3}$ 입니다.

$a\ne 0$ 이므로 두 값은 서로 다르며, $f(x)$는 이 두 점에서 극값을 갖습니다.

step2. 정수 $k$의 조건 설정

조건에 따라 열린구간 $(k,k+1.5)$ 내에 극값이 존재해야 하므로, $0$ 또는 $\frac{4a}{3}$ 이 이 구간에 속해야 합니다.

① $0$이 속할 조건:

$k<0<k+1.5$

$-1.5<k<0$

이를 만족하는 정수 $k$는 $-1$ 뿐입니다.

② $\frac{4a}{3}$이 속할 조건:

$k<\frac{4a}{3}<k+1.5$

$\frac{4a}{3}-1.5<k<\frac{4a}{3}$

이 부등식을 만족하는 정수 $k$들의 집합을 $S$라고 합시다.

step3. 정수 $a$ 구하기

문제에서 조건을 만족하는 모든 정수 $k$의 값의 곱이 $-12$라고 했습니다.

앞서 구한 $k=-1$을 제외한 나머지 $k$들, 즉 집합 $S$에 속한 정수들의 곱은 $12$가 되어야 합니다.

[함정경고] 구간 $(\frac{4a}{3}-1.5,\frac{4a}{3})$ 의 길이는 $1.5$입니다. 길이가 $1.5$인 열린구간 안에 들어갈 수 있는 정수의 개수는 최대 2개이며, 2개일 경우 반드시 연속된 두 정수여야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

곱이 $12$가 되는 정수의 조합을 생각해 봅시다.

- 단일 정수 $12$인 경우:

$12<\frac{4a}{3}\le 13$ 이고 $\frac{4a}{3}-1.5\ge 11$ 이어야 합니다.

이를 풀면 $9.375\le a\le 9.75$ 가 되는데, 이를 만족하는 정수 $a$는 없습니다.

- 연속된 두 정수 $3,4$인 경우:

$4<\frac{4a}{3}<4.5$ 이어야 두 정수 $3,4$가 구간에 포함됩니다.

$3<a<3.375$ 가 되며, 이를 만족하는 정수 $a$는 없습니다.

- 연속된 두 정수 $-4,-3$인 경우:

$-3<\frac{4a}{3}<-2.5$ 이어야 두 정수 $-4,-3$이 구간에 포함됩니다.

$-2.25<a<-1.875$ 가 되며, 이를 만족하는 정수 $a$는 $-2$ 입니다.

step4. $f^{\prime }(10)$ 계산하기

$a=-2$ 이므로 도함수는 다음과 같습니다.

$f^{\prime }(x)=3x^2+8x$

따라서 구하고자 하는 값은

$f^{\prime }(10)=3(10{)}^2+8(10)=300+80=380$ 입니다.

[정답] 380

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 해석

$\left\{\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right\}\times \left\{\frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}\right\}<0$

--- 평균변화율의 부호가 바뀌므로 구간 $(k,k+1.5)$ 내에 극값이 존재함

step2. 극값의 위치

$f^{\prime }(x)=3x^2-4ax=x(3x-4a)=0$

$x=0$ 또는 $x=\frac{4a}{3}$

step3. 정수 k의 조건

$0\in (k,k+1.5)⟹-1.5<k<0⟹k=-1$

$\frac{4a}{3}\in (k,k+1.5)⟹\frac{4a}{3}-1.5<k<\frac{4a}{3}$

step4. a 구하기

모든 $k$의 곱이 $-12$이므로, $x=\frac{4a}{3}$에서 나오는 $k$들의 곱은 $12$여야 함.

구간 길이가 $1.5$이므로 $k$는 연속된 두 정수이거나 단일 정수임.

곱이 $12$가 되는 연속된 두 정수는 $(3,4)$ 또는 $(-4,-3)$.

1) $k=3,4$일 때:

$4<\frac{4a}{3}<4.5⟹3<a<3.375$   --- 만족하는 정수 $a$ 없음

2) $k=-4,-3$일 때:

$-3<\frac{4a}{3}<-2.5⟹-2.25<a<-1.875⟹a=-2$

step5. 정답 도출

$a=-2$ 이므로 $f^{\prime }(x)=3x^2+8x$

$f^{\prime }(10)=300+80=380$

$\therefore 380$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

평균변화율의 곱이 음수라는 복잡한 수식을 보고, 이것이 구간 내 극값의 존재를 의미한다는 기하학적/미분학적 의미를 파악하지 못해 시작조차 못할 수 있습니다. 또한, 구간 $(k,k+1.5)$의 길이가 1.5라는 점을 활용하여, 해당 구간에 속할 수 있는 정수 $k$의 개수가 최대 2개라는 사실을 추론하지 못하고 경우의 수에서 헤맬 수 있습니다.

🔑 돌파구

세 점 사이의 평균변화율 부호가 바뀐다는 것은 그래프가 증가하다 감소하거나 감소하다 증가한다는 뜻이므로, 다항함수에서는 반드시 그 구간 안에 $f^{\prime }(x)=0$인 극값이 존재함을 떠올려야 합니다. 부등식 $x-1.5<k<x$를 만족하는 정수 $k$를 찾을 때, 구간의 길이가 1.5이므로 연속된 두 정수이거나 하나의 정수만 가능하다는 점을 이용해 곱이 12가 되는 정수 조합을 한정지어 푸세요. (팁: 구간의 길이가 주어지면 포함될 수 있는 정수의 최대 개수부터 파악하라.)

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