(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

고3 수학/(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확률과통계

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 mathjourney 2026. 5. 28. 10:48

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률의 덧셈정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

두 사건

A, B

에 대하여

P (A \cap B^{C}) = \frac{1}{9}, P (B^{C}) = \frac{7}{18}

일 때,

P (A \cup B)

의 값은? (단,

B^{C}

은

B

의 여사건이다.) ①

\frac{5}{9}

②

\frac{11}{18}

③

\frac{2}{3}

④

\frac{13}{18}

⑤

\frac{7}{9}

1. 문제의 요지

이 문제는 여사건의 확률과 확률의 덧셈정리를 이용하여 합사건의 확률을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

P (A \cap B^{C}) = \frac{1}{9}

P (B^{C}) = \frac{7}{18}

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건의 확률과 배반사건의 성질을 이용하여 합사건의 확률을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 여사건의 확률 성질을 이용하여 $P (B)$ 를 구합니다.

step2. 합사건 $A \cup B$ 를 두 배반사건 $B$ 와 $A \cap B^{C}$ 의 합집합으로 나타내어 $P (A \cup B)$ 를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 여사건의 확률: 사건 $B$ 에 대하여 $P (B) = 1 - P (B^{C})$ 이다.

- 확률의 덧셈정리 (배반사건): 두 사건 $X, Y$ 가 서로 배반사건(교집합이 공집합)일 때, $P (X \cup Y) = P (X) + P (Y)$ 이다.

- 집합의 분할: $A \cup B = B \cup (A \cap B^{C})$ 이고, $B$ 와 $A \cap B^{C}$ 는 서로 배반사건이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 합사건 $A \cup B$ 를 서로 겹치지 않는 두 사건 $B$ 와 $A \cap B^{C}$ 로 나누어 생각하는 것이 핵심입니다.

step1. 먼저 주어진 조건 $P (B^{C}) = \frac{7}{18}$ 을 이용하여 $P (B)$ 를 구합니다.

여사건의 확률 성질에 의해 $P (B) = 1 - P (B^{C})$ 이므로,

$P (B) = 1 - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$ 입니다.

step2. 이제 $P (A \cup B)$ 를 구합니다.

집합의 연산에서 $A \cup B = B \cup (A - B) = B \cup (A \cap B^{C})$ 로 나타낼 수 있습니다.

이때 사건 $B$ 와 사건 $A \cap B^{C}$ 는 서로 배반사건(교집합이 공집합)이므로, 확률의 덧셈정리에 의해 다음이 성립합니다.

$P (A \cup B) = P (B) + P (A \cap B^{C})$

[함정경고] 여기서 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 공식만 떠올리다가 $P (A)$ 와 $P (A \cap B)$ 를 각각 구하려고 하면 조건이 부족하여 막히기 쉽습니다. 벤 다이어그램을 그려서 영역을 분할해 보는 것이 좋습니다.

주어진 조건 $P (A \cap B^{C}) = \frac{1}{9}$ 과 앞서 구한 $P (B) = \frac{11}{18}$ 을 대입하면,

$P (A \cup B) = \frac{11}{18} + \frac{1}{9} = \frac{11}{18} + \frac{2}{18} = \frac{13}{18}$ 입니다.

따라서 정답은 ④입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. P(B) 계산

$P (B) = 1 - P (B^{C}) = 1 - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$

$(s t e p 2 . P (A \cup B) 계 산)$

$P (A \cup B) = P (B) + P (A \cap B^{C})$ --- (벤 다이어그램 영역 분할 이용)

$= \frac{11}{18} + \frac{1}{9}$

$= \frac{11}{18} + \frac{2}{18} = \frac{13}{18}$

$∴ 정 답 ④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 공식에만 얽매여 $P (A)$ 와 $P (A \cap B)$ 를 각각 구하려고 시도하다가 조건 부족으로 막힐 가능성이 높습니다.

🔑 돌파구

벤 다이어그램을 그려 $A \cup B$ 영역이 $B$ 영역과 $A \cap B^{C}$ (즉, $A - B$ ) 영역의 합으로 이루어져 있음을 시각적으로 확인하세요. 복잡한 확률 계산은 벤 다이어그램을 통한 영역 분할이 가장 직관적인 해결책입니다.

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