(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]

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(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 27번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 조건부확률)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 $a,b$라 하자. $a\times b$가 4의 배수일 때, $a+b\le 7$일 확률은? [3점] ① $\frac{2}{5}$ ② $\frac{7}{15}$ ③ $\frac{8}{15}$ ④ $\frac{3}{5}$ ⑤ $\frac{2}{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 조건부확률의 정의를 이해하고, 주어진 조건을 만족하는 경우의 수를 정확히 셀 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 주사위를 두 번 던져 나오는 눈의 수 $a,b$ ($1\le a,b\le 6$)
- 사건 A: $a\times b$가 4의 배수
- 사건 B: $a+b\le 7$

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건부확률의 정의를 이용하여 전체 사건을 축소한 후, 그 안에서 특정 조건을 만족하는 경우를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $a\times b$가 4의 배수가 되는 모든 순서쌍 $(a,b)$의 경우의 수를 구합니다.

step2. step1에서 구한 순서쌍 중 $a+b\le 7$을 만족하는 순서쌍의 경우의 수를 구합니다.

step3. 조건부확률의 정의에 따라 확률을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 조건부확률: 사건 A가 일어났을 때 사건 B가 일어날 확률은 $P(B|A)=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

조건부확률 문제를 만났을 때는 당황하지 말고 '전체 경우의 수'가 무엇으로 바뀌었는지 확인하는 것이 중요합니다. 이 문제에서는 주사위를 두 번 던지는 전체 36가지 경우가 아니라, '$a\times b$가 4의 배수'인 경우만이 우리의 새로운 '전체'가 됩니다.

[키포인트] 조건부확률 문제에서는 "~일 때" 앞의 사건을 새로운 표본공간(전체 경우)으로 생각하고, 그 안에서 "~일 확률"의 사건을 찾아야 합니다.

step1. $a\times b$가 4의 배수가 되는 경우의 수 구하기

주사위의 눈은 1부터 6까지입니다. 두 수의 곱이 4의 배수가 되려면 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.

첫째, $a$와 $b$ 중 적어도 하나가 4인 경우입니다.

- $a=4$일 때, $b$는 1, 2, 3, 4, 5, 6 (6가지)

- $b=4$일 때, $a$는 1, 2, 3, 5, 6 (5가지, $a=4,b=4$는 위에서 세었으므로 제외)

총 11가지입니다.

둘째, $a$와 $b$ 모두 4가 아닌 짝수(즉, 2 또는 6)인 경우입니다.

- $a$가 2 또는 6이고, $b$가 2 또는 6인 경우: $2\times 2=4$가지입니다.

(구체적으로 (2,2), (2,6), (6,2), (6,6) 입니다.)

따라서 $a\times b$가 4의 배수가 되는 전체 경우의 수는 $11+4=15$가지입니다.

[함정경고] 여기서 $a$와 $b$가 각각 짝수일 때를 단순히 $3\times 3=9$가지로 계산하고, 4가 포함된 경우와 중복을 빼는 과정에서 실수를 하기 쉽습니다. 경우를 나눌 때는 중복이 발생하지 않도록 기준을 명확히 세우는 것이 좋습니다.

step2. $a+b\le 7$을 만족하는 경우의 수 구하기

step1. 에서 찾은 15가지 순서쌍 중에서 두 수의 합이 7 이하인 것을 찾아봅시다.

- 4가 포함된 11가지 중:

(4,1) $\to 4+1=5\le 7$ (O)

(4,2) $\to 4+2=6\le 7$ (O)

(4,3) $\to 4+3=7\le 7$ (O)

(4,4) $\to 4+4=8>7$ (X)

(4,5), (4,6) (X)

(1,4) $\to 1+4=5\le 7$ (O)

(2,4) $\to 2+4=6\le 7$ (O)

(3,4) $\to 3+4=7\le 7$ (O)

(5,4), (6,4) (X)

여기서 6가지를 찾았습니다.

- 4가 아닌 짝수들로 이루어진 4가지 중:

(2,2) $\to 2+2=4\le 7$ (O)

(2,6) $\to 2+6=8>7$ (X)

(6,2) $\to 6+2=8>7$ (X)

(6,6) $\to 6+6=12>7$ (X)

여기서 1가지를 찾았습니다.

따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 $6+1=7$가지입니다.

step3. 조건부확률 계산하기

구하는 확률은 ($a\times b$가 4의 배수이면서 $a+b\le 7$인 경우의 수) / ($a\times b$가 4의 배수인 경우의 수) 이므로,

$\frac{7}{15}$ 가 됩니다.

정답은 ②번입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. $a\times b$가 4의 배수인 경우의 수

$a,b\in \{1,2,3,4,5,6\}$

$a\times b$가 4의 배수이려면:

i) 4가 포함된 경우:

$a=4\to b$는 6개

$b=4\to a$는 5개   --- (4,4 중복 제외)

$\to 11$개

ii) 4 미포함 짝수 $\times$ 짝수:

$a\in \{2,6\},b\in \{2,6\}$

$\to 2\times 2=4$개

전체 경우의 수 $n(A)=11+4=15$

step2. $a+b\le 7$인 경우의 수

위 15개 중 합이 7 이하인 것 찾기:

i)에서: (4,1), (4,2), (4,3), (1,4), (2,4), (3,4) $\to 6$개

ii)에서: (2,2) $\to 1$개

조건 만족 경우의 수 $n(A\cap B)=6+1=7$

step3. 조건부확률 계산

$P=\frac{n(A\cap B)}{n(A)}=\frac{7}{15}$

$\therefore 정답:②$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- 조건부확률의 개념을 정확히 적용하지 못하고, 전체 경우의 수를 36으로 두고 계산하는 실수를 할 수 있습니다. - 두 수의 곱이 4의 배수가 되는 경우를 찾을 때, (2, 2)나 (2, 6)처럼 4가 없어도 곱이 4의 배수가 되는 경우를 누락하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

- 문제에서 "~일 때"라는 표현이 나오면, 그 앞의 사건을 새로운 전체 경우의 수(분모)로 설정하세요. - 곱이 4의 배수가 되는 조건을 찾을 때는 '적어도 하나가 4인 경우'와 '둘 다 4가 아닌 짝수인 경우'로 나누어 꼼꼼히 나열해 보세요. 이렇게 기준을 나누면 중복이나 누락을 방지할 수 있습니다.

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