(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]

 

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(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 경우의 수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

29. 그림과 같이 2장의 검은색 카드와 1부터 8까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 8장의 흰색 카드가 있다. 이 카드를 모두 한 번씩 사용하여 왼쪽에서 오른쪽으로 일렬로 배열할 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 검은색 카드는 서로 구별하지 않는다.) [4점] (가) 흰색 카드에 적힌 수가 작은 수부터 크기순으로 왼쪽에서 오른쪽으로 배열되도록 카드가 놓여 있다. (나) 검은색 카드 사이에는 흰색 카드가 2장 이상 놓여 있다. (다) 검은색 카드 사이에는 3의 배수가 적힌 흰색 카드가 1장 이상 놓여 있다.

1. 문제의 요지

이 문제는 고정된 순서의 카드 배열에서 빈자리를 선택하는 조합 문제로 환원하고, 여사건을 이용하여 조건에 맞는 경우의 수를 구하는 능력을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 검은색 카드 2장, 흰색 카드 8장(1~8)
- 흰색 카드는 작은 수부터 크기순으로 배열됨
- 검은색 카드 사이에는 흰색 카드가 2장 이상 놓임
- 검은색 카드 사이에는 3의 배수가 적힌 흰색 카드가 1장 이상 놓임
- 검은색 카드는 서로 구별하지 않음

3. 풀이의 순서

이 문제는 흰색 카드의 위치가 고정되어 있으므로 검은색 카드가 들어갈 자리를 선택하는 문제로 접근하고, 여사건을 활용하여 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 흰색 카드 8장이 크기순으로 고정되어 있으므로, 검은색 카드 2장이 들어갈 수 있는 자리를 파악합니다.

step2. 조건 (나)를 만족하는 전체 경우의 수를 구합니다.

step3. 조건 (다)를 만족하지 않는 여사건의 경우의 수를 구합니다.

step4. 전체 경우의 수에서 여사건의 경우의 수를 빼서 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 여사건의 경우의 수: 어떤 사건이 일어날 경우의 수를 구할 때, 전체 경우의 수에서 그 사건이 일어나지 않을 경우의 수를 빼서 구하는 방법입니다. '1장 이상'과 같은 조건이 있을 때 유용하게 사용됩니다.

- 조합: 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 택하는 경우의 수입니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 흰색 카드의 위치가 고정되어 있으므로 검은색 카드가 들어갈 자리를 선택하는 문제로 접근하고, 여사건을 활용하여 풀이합니다.

 

[키포인트]

흰색 카드는 이미 순서대로 배열되어 있으므로, 검은색 카드 2장이 어느 위치에 들어갈지만 결정하면 됩니다. 조건 (다)의 '1장 이상'이라는 표현을 보고 여사건을 떠올리는 것이 핵심입니다.

 

step1. 검은색 카드가 들어갈 자리 파악

흰색 카드 8장이 1부터 8까지 순서대로 놓여 있습니다.

검은색 카드 2장이 들어갈 수 있는 자리는 흰색 카드들의 사이사이와 양 끝을 포함하여 총 9곳입니다.

이 9곳의 자리를 왼쪽부터 차례대로 0번부터 8번까지 번호를 매겨봅시다.

(0번 자리) 1 (1번 자리) 2 (2번 자리) 3 ... 8 (8번 자리)

 

step2. 조건 (나)를 만족하는 전체 경우의 수

검은색 카드 2장이 들어갈 두 자리의 번호를 x,y (x<y)라고 합시다.

조건 (나)에서 검은색 카드 사이에는 흰색 카드가 2장 이상 놓여야 합니다.

x번 자리와 y번 자리 사이에 있는 흰색 카드의 개수는 y−x장입니다.

따라서 y−x≥2를 만족해야 합니다.

0부터 8까지의 9개의 숫자 중 서로 다른 2개를 선택하는 경우의 수는 (92)=36가지입니다.

이 중 y−x=1인 경우(즉, 이웃한 두 자리를 선택하는 경우)는 (0,1), (1,2), ..., (7,8)의 8가지입니다.

따라서 조건 (나)를 만족하는 전체 경우의 수는 36−8=28가지입니다.

 

step3. 조건 (다)의 여사건 경우의 수

조건 (다)는 검은색 카드 사이에 3의 배수(3, 6)가 1장 이상 놓여야 한다는 것입니다.

이를 직접 구하기보다 여사건을 이용하는 것이 편리합니다.

여사건은 '검은색 카드 사이에 3의 배수가 한 장도 없는 경우'입니다.

검은색 카드 사이의 흰색 카드가 2장 이상이면서 3과 6을 포함하지 않으려면, 흰색 카드들은 다음 세 그룹 중 하나에만 속해야 합니다.

- 1, 2만 포함하는 경우: 검은색 카드가 0번, 2번 자리에 위치해야 합니다. (1가지)

- 4, 5만 포함하는 경우: 검은색 카드가 3번, 5번 자리에 위치해야 합니다. (1가지)

- 7, 8만 포함하는 경우: 검은색 카드가 6번, 8번 자리에 위치해야 합니다. (1가지)

따라서 여사건의 경우의 수는 총 3가지입니다.

 

[함정경고]

여사건을 구할 때, 검은색 카드 사이의 흰색 카드가 1장인 경우(예: 1만 포함, 4만 포함 등)를 포함하지 않도록 주의해야 합니다. 조건 (나)에 의해 흰색 카드는 항상 2장 이상이어야 하므로, 3의 배수를 포함하지 않는 경우는 정확히 {1, 2}, {4, 5}, {7, 8} 세 가지뿐입니다.

 

step4. 정답 도출

전체 경우의 수에서 여사건의 경우의 수를 빼면 조건 (나)와 (다)를 모두 만족하는 경우의 수가 됩니다.

28−3=25

 

따라서 구하는 경우의 수는 25입니다.

[정답] 25

⚡ 실전용 풀이

step1. 자리 파악

흰색 카드 8장 사이사이와 양 끝 자리: 총 9개

자리 번호: 0, 1, 2, ..., 8

step2. 전체 경우의 수

검은색 카드 2장이 들어갈 자리 x,y   --- x<y

조건 (나): y−x≥2

전체 경우의 수 = (92)−8=36−8=28

step3. 여사건

조건 (다) 여사건: 검은색 카드 사이에 3의 배수(3, 6)가 없는 경우

가능한 흰색 카드 묶음: {1, 2}, {4, 5}, {7, 8}

각각의 경우의 수: 1가지씩 → 총 3가지

step4. 정답 도출

28−3=25

∴25

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

흰색 카드가 고정되어 있다는 사실을 인지하지 못하고, 10장의 카드를 모두 나열하는 순열 문제로 착각하여 복잡도에 압도될 수 있습니다. 또한 조건 (다)의 '1장 이상'을 보고 직접 경우를 나누어 풀려다가 분류가 복잡해져서 계산 실수를 할 가능성이 높습니다.

🔑 돌파구

조건 (가)에 의해 흰색 카드의 순서가 고정되므로, 검은색 카드 2장이 들어갈 '자리'를 선택하는 조합 문제로 관점을 전환해야 합니다. '1장 이상'이라는 조건은 여사건(3의 배수가 하나도 없는 경우)을 활용하면 훨씬 빠르고 정확하게 계산할 수 있습니다. '적어도 하나' 또는 '1개 이상' 조건은 항상 여사건을 먼저 떠올려보세요.

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