(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 30번 풀이 해설 [이해용/실전용]
수학여정 - 문제 분석 리포트
| (2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 확통 30번 풀이 해설 [이해용/실전용] | |
| 문제의 분류 | 고등학교 (확률과 통계 - 확률) |
| 난이도 | 중상 |
🔍 이해용 풀이
1. 문제의 요지
2. 주어진 조건
- 검은 공: 4, 5, 6, 7 (총 4개)
- 시행: 임의로 2개의 공을 동시에 꺼냄
- 점수 규칙 1: 꺼낸 공이 서로 다른 색이면 12점
- 점수 규칙 2: 꺼낸 공이 서로 같은 색이면 두 공에 적힌 수의 곱
- 목표: 얻은 점수가 24 이하의 짝수일 확률 qp를 구하여 p+q 계산
3. 풀이의 순서
이 문제는 경우의 수를 색깔이 같은 경우와 다른 경우로 나누어 확률을 계산하는 방법으로 풀이합니다.
step1. 전체 경우의 수를 구합니다.
step2. 꺼낸 두 공이 서로 다른 색일 때, 조건을 만족하는 경우의 수를 구합니다.
step3. 꺼낸 두 공이 모두 흰 공일 때, 조건을 만족하는 경우의 수를 구합니다.
step4. 꺼낸 두 공이 모두 검은 공일 때, 조건을 만족하는 경우의 수를 구합니다.
step5. 구한 경우의 수를 모두 더하여 확률을 계산하고, p+q의 값을 도출합니다.
4. 풀이의 도구
- 조합: 서로 다른 n개에서 순서를 생각하지 않고 r개를 택하는 경우의 수 (nr)=n!r!(n−r)!
- 확률의 덧셈정리: 두 사건 A,B가 배반사건일 때, P(A∪B)=P(A)+P(B)
5. 구체적 풀이
[키포인트] 점수 규칙이 공의 색깔에 따라 다르므로, 두 공의 색이 같은 경우와 다른 경우로 나누어 생각하는 것이 핵심입니다.
step1. 전체 경우의 수
8개의 공 중에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 (82)=8×72×1=28입니다.
step2. 꺼낸 두 공이 서로 다른 색인 경우
흰 공 1개, 검은 공 1개를 꺼내는 경우입니다.
이때 점수는 무조건 12점이며, 12는 24 이하의 짝수이므로 조건을 항상 만족합니다.
경우의 수는 (41)×(41)=4×4=16입니다.
step3. 꺼낸 두 공이 모두 흰 공인 경우
흰 공 4개 {1, 2, 3, 4} 중 2개를 꺼냅니다.
점수는 두 수의 곱이며, 이 값이 24 이하의 짝수여야 합니다.
[함정경고] 두 공이 같은 색일 때, 곱이 24 이하라는 조건만 신경 쓰고 '짝수'라는 조건을 빠뜨려 홀수끼리의 곱을 포함시키는 실수를 하기 쉽습니다.
전체 (42)=6가지 경우 중, 두 수의 곱이 홀수가 되는 경우는 홀수 2개를 뽑는 경우인 (1, 3) 1가지뿐입니다.
나머지 5가지 경우는 모두 짝수가 하나 이상 포함되어 곱이 짝수이고, 가장 큰 곱이 3×4=12이므로 모두 24 이하입니다.
따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 6−1=5입니다.
(구체적으로 확인하면 (1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)의 5가지입니다.)
step4. 꺼낸 두 공이 모두 검은 공인 경우
검은 공 4개 {4, 5, 6, 7} 중 2개를 꺼냅니다.
점수는 두 수의 곱이며, 이 값이 24 이하의 짝수여야 합니다.
가능한 2개의 조합과 그 곱을 확인해 봅니다.
- (4, 5) →4×5=20 (24 이하 짝수, 만족)
- (4, 6) →4×6=24 (24 이하 짝수, 만족)
- (4, 7) →4×7=28 (24 초과, 불만족)
- (5, 6) →5×6=30 (24 초과, 불만족)
- (5, 7) →5×7=35 (홀수, 불만족)
- (6, 7) →6×7=42 (24 초과, 불만족)
따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 2입니다.
step5. 확률 계산 및 정답 도출
step2. , step3, step4의 사건들은 서로 배반사건이므로, 조건을 만족하는 총 경우의 수는 16+5+2=23입니다.
구하는 확률은 2328입니다.
p=28,q=23이며, 두 수는 서로소인 자연수입니다.
따라서 p+q=28+23=51입니다.
⚡ 실전용 풀이
step1. 전체 경우의 수
n(S)=(82)=28
step2. 다른 색인 경우
점수 = 12 --- 24 이하 짝수 만족
경우의 수 = (41)×(41)=16
step3. 모두 흰 공인 경우
{1, 2, 3, 4} 중 2개 선택
곱이 24 이하 짝수: (1,2), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)
경우의 수 = 5 --- (홀수×홀수인 (1,3) 제외)
step4. 모두 검은 공인 경우
{4, 5, 6, 7} 중 2개 선택
곱이 24 이하 짝수: (4,5), (4,6)
경우의 수 = 2 --- (나머지는 24 초과이거나 홀수)
step5. 확률 계산
P=16+5+228=2328
p=28,q=23
∴ p+q=51
🎯 막힌 이유와 돌파구
두 공이 같은 색일 때, 곱이 24 이하라는 조건만 신경 쓰고 '짝수'라는 조건을 빠뜨려 홀수×홀수 경우를 포함시키는 실수를 할 수 있습니다. 또한, 검은 공의 경우 숫자가 커서 곱이 24를 넘는 경우가 많은데, 이를 일일이 확인하지 않고 대충 세다가 틀릴 수 있습니다.
문제의 조건 '24 이하의 짝수'를 두 부분으로 나누어, 곱을 구한 후 반드시 24 이하인지, 그리고 짝수인지 두 번 체크하는 습관을 들여야 합니다. 숫자가 몇 개 안 될 때는 머릿속으로만 계산하지 말고, 가능한 모든 순서쌍을 직접 나열해 보며 조건에 맞는지 O, X로 표시하는 것이 가장 확실합니다.
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