2024년 6월 학평 (고1) 수학 5번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 5번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산과 항등식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

등식 $2x^2+ax+b=x(x-3)+(x+1)(x+3)$ 이 $x$에 대한 항등식일 때, $ab$의 값은? (단, $a,b$는 상수이다.) ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 등식이 $x$에 대한 항등식일 때, 우변을 전개하여 양변의 동류항의 계수를 비교함으로써 미정계수 $a,b$를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등식 $2x^2+ax+b=x(x-3)+(x+1)(x+3)$ 이 $x$에 대한 항등식이다.
- $a,b$는 상수이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 항등식의 성질을 이용하여 양변의 계수를 비교하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 등식의 우변을 전개하여 내림차순으로 정리합니다.

step2. 양변의 동류항의 계수를 비교하여 미정계수 $a,b$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a,b$의 값을 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 항등식의 성질 (계수비교법): 양변의 다항식을 내림차순으로 정리했을 때, 동류항의 계수가 서로 같아야 한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 항등식은 미지수 $x$에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식입니다. 다항식의 경우, 양변을 전개하여 동류항의 계수를 비교하는 '계수비교법'을 사용하면 미정계수를 쉽게 구할 수 있습니다.

step1. 주어진 등식의 우변을 전개하여 내림차순으로 정리합니다.

우변의 식은 $x(x-3)+(x+1)(x+3)$ 입니다.

각각을 전개하면,

$x(x-3)=x^2-3x$

$(x+1)(x+3)=x^2+4x+3$

이 두 식을 더하면,

$(x^2-3x)+(x^2+4x+3)=2x^2+x+3$ 이 됩니다.

step2. 양변의 동류항의 계수를 비교하여 미정계수 $a,b$의 값을 구합니다.

주어진 등식은 $2x^2+ax+b=2x^2+x+3$ 으로 정리됩니다.

이 등식이 $x$에 대한 항등식이므로, 양변의 동류항의 계수가 같아야 합니다.

$x$의 계수를 비교하면: $a=1$

상수항을 비교하면: $b=3$

[함정경고] 전개 과정에서 부호를 잘못 계산하거나 동류항끼리 더할 때 실수하기 쉬우므로 차분히 계산해야 합니다.

step3. 구한 $a,b$의 값을 곱하여 최종 정답을 도출합니다.

우리가 구해야 하는 값은 $ab$이므로,

$ab=1\times 3=3$ 입니다.

따라서 정답은 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 우변 전개

$x(x-3)+(x+1)(x+3)$

$=(x^2-3x)+(x^2+4x+3)$

$=2x^2+x+3$

step2. 계수 비교

$2x^2+ax+b=2x^2+x+3$   --- (항등식이므로 계수 비교)

$a=1,b=3$

step3. 정답 도출

$ab=1\times 3=3$

$\therefore ③$

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