2024년 6월 학평 (고1) 수학 6번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 6번
문제의 분류	고등학교 (다항식의 연산)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

6. $x+y-z=5,xy-yz-zx=4$ 일 때, $x^2+y^2+z^2$의 값은? ① 15 ② 17 ③ 19 ④ 21 ⑤ 23

1. 문제의 요지

이 문제는 세 문자의 합과 두 문자씩 곱한 합이 주어졌을 때, 곱셈 공식의 변형을 이용하여 세 문자의 제곱의 합을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- x + y - z = 5
- xy - yz - zx = 4

3. 풀이의 순서

이 문제는 세 문자의 합의 제곱 공식을 변형하여 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 세 문자의 합의 제곱 공식을 문제에 맞게 변형합니다.

step2. 주어진 조건의 값을 변형된 공식에 대입합니다.

step3. 방정식을 풀어 $x^2+y^2+z^2$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱셈 공식: $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 세 문자의 합과 두 문자씩 곱한 합이 주어졌을 때, 제곱의 합은 곱셈 공식을 이용하여 쉽게 구할 수 있습니다.

step1. 세 문자의 합의 제곱 공식을 문제에 맞게 변형합니다.

우리가 알고 있는 곱셈 공식은 다음과 같습니다.

$(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$

이 공식에 $a=x,b=y,c=-z$를 대입해 보겠습니다.

$(x+y-z{)}^2=x^2+y^2+(-z{)}^2+2(xy+y(-z)+(-z)x)$

이를 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$(x+y-z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy-yz-zx)$

[함정경고] $c$ 대신 $-z$를 대입할 때, 부호에 주의해야 합니다. 특히 $(-z{)}^2=z^2$이 됨을 놓치기 쉽습니다.

step2. 주어진 조건의 값을 변형된 공식에 대입합니다.

문제에서 주어진 조건은 다음과 같습니다.

$x+y-z=5$

$xy-yz-zx=4$

이 값들을 step1에서 구한 식에 대입합니다.

$5^2=x^2+y^2+z^2+2\times 4$

step3. 방정식을 풀어 $x^2+y^2+z^2$의 값을 구합니다.

위 식을 계산하면,

$25=x^2+y^2+z^2+8$

따라서 우리가 구하고자 하는 값은,

$x^2+y^2+z^2=25-8=17$

정답은 17이므로, ②번입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 곱셈 공식 적용

$(x+y-z{)}^2=x^2+y^2+z^2+2(xy-yz-zx)$

step2. 값 대입

$5^2=x^2+y^2+z^2+2(4)$

step3. 계산

$25=x^2+y^2+z^2+8$

$x^2+y^2+z^2=17$

$\therefore 정답②$

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