2024년 6월 학평 (고1) 수학 7번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고1) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (이차방정식의 판별식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

7. $x$에 대한 이차방정식 $x^2-2kx+k^2+3k-22=0$ 이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 자연수 $k$의 최솟값은? [3점] ① 5 ② 6 ③ 7 ④ 8 ⑤ 9

1. 문제의 요지

이 문제는 이차방정식이 서로 다른 두 허근을 가질 조건(판별식 $D<0$)을 이용하여 부등식을 세우고, 이를 만족하는 자연수 $k$의 최솟값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식: $x^2-2kx+k^2+3k-22=0$
- 조건: 서로 다른 두 허근을 가짐
- 구하는 값: 자연수 $k$의 최솟값

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차방정식의 판별식을 이용하여 부등식을 세우고 해를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 이차방정식이 서로 다른 두 허근을 가질 조건을 판별식을 이용하여 식으로 나타냅니다.

step2. 판별식으로 세운 부등식을 풀어 $k$의 값의 범위를 구합니다.

step3. 구한 범위에 속하는 자연수 $k$ 중 가장 작은 값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 판별식: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$에서 판별식 $D=b^2-4ac$일 때, $D<0$이면 서로 다른 두 허근을 갖는다. 특히 $b$가 짝수($b=2b^{\prime }$)일 때는 $\frac{D}{4}=(b^{\prime }{)}^2-ac<0$을 이용할 수 있다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차방정식이 서로 다른 두 허근을 가질 조건은 판별식 $D<0$임을 이용하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 이차방정식 $x^2-2kx+k^2+3k-22=0$이 서로 다른 두 허근을 가지려면 판별식이 0보다 작아야 합니다.

$x$의 계수가 $-2k$로 짝수이므로, 계산을 간단히 하기 위해 짝수 판별식 $\frac{D}{4}$를 사용합니다.

$\frac{D}{4}=(-k{)}^2-1·(k^2+3k-22)<0$

step2. 위 부등식을 전개하여 $k$의 범위를 구합니다.

$k^2-(k^2+3k-22)<0$

$k^2-k^2-3k+22<0$

$-3k+22<0$

$3k>22$

$k>\frac{22}{3}$

step3. $\frac{22}{3}$은 $7.333\dots$ 이므로, $k>7.333\dots$ 을 만족하는 자연수 $k$는 $8,9,10,\dots$ 입니다.

[함정경고] 부등식의 해를 구한 후, 문제에서 요구하는 조건이 '자연수'의 '최솟값'임을 잊지 말고 정확한 값을 선택해야 합니다. $7.333\dots$보다 큰 가장 작은 자연수는 7이 아니라 8입니다.

따라서 자연수 $k$의 최솟값은 8입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 판별식 조건

$\frac{D}{4}=(-k{)}^2-(k^2+3k-22)<0$

step2. 부등식 풀이

$k^2-k^2-3k+22<0$

$3k>22$

$k>\frac{22}{3}=7.33\dots$

step3. 최솟값 도출

$\therefore$ 자연수 $k$의 최솟값은 8

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