2024년 6월 학평 (고2) 수학 2번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 2번
문제의 분류	고등학교 (로그의 성질)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

2. ${\log }_{3}24+{\log }_3\frac{3}{8}$의 값은? [2점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 덧셈 성질을 이용하여 식을 간단히 하고 그 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\log }_{3}24+{\log }_3\frac{3}{8}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 덧셈 성질을 이용하여 진수끼리 곱하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 밑이 같은 로그의 덧셈 성질을 이용하여 식을 하나의 로그로 합칩니다.

step2. 진수 부분의 곱셈을 계산합니다.

step3. 로그의 정의를 이용하여 최종 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 덧셈 성질: $a>0,a\ne 1,x>0,y>0$일 때, ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a(xy)$

- 로그의 거듭제곱 성질: $a>0,a\ne 1,x>0$일 때, ${\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x$

- 밑과 진수가 같은 로그: $a>0,a\ne 1$일 때, ${\log }_{a}a=1$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 밑이 같은 두 로그의 합은 진수끼리의 곱으로 합칠 수 있습니다.

step1. 주어진 식은 밑이 3으로 같은 두 로그의 합입니다. 로그의 덧셈 성질을 이용하여 하나의 로그로 합칩니다.

${\log }_{3}24+{\log }_3\frac{3}{8}={\log }_3(24\times \frac{3}{8})$

step2. 진수 부분의 곱셈을 계산합니다.

$24\times \frac{3}{8}=3\times 3=9$

따라서 식은 ${\log }_{3}9$가 됩니다.

[함정경고] 진수를 계산할 때 약분을 실수하지 않도록 주의하세요. $24$를 $8$로 나누면 $3$이 됩니다.

step3. $9$는 $3^2$이므로 로그의 성질을 이용하여 값을 계산합니다.

${\log }_{3}9={\log }_3(3^2)=2{\log }_{3}3$

${\log }_{3}3=1$이므로 최종 값은 $2\times 1=2$입니다.

따라서 정답은 ②입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 로그 합치기

${\log }_{3}24+{\log }_3\frac{3}{8}$

$={\log }_3(24\times \frac{3}{8})$   --- (밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱)

step2. 진수 계산

$={\log }_{3}9$

step3. 최종 값 도출

$={\log }_3(3^2)$

$=2{\log }_{3}3$

$=2$

$\therefore 정답:②$

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