2024년 6월 학평 (고2) 수학 4번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 4번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

4. $0\le x\le \pi$ 일 때, 방정식 $2\cos x+1=0$의 해는? [3점] ① $\frac{\pi }{6}$ ② $\frac{\pi }{4}$ ③ $\frac{\pi }{3}$ ④ $\frac{2}{3}\pi$ ⑤ $\frac{5}{6}\pi$

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 구간에서 삼각방정식을 풀고 특수각의 삼각비 값을 이용하여 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $0\le x\le \pi$
- $2\cos x+1=0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각방정식을 기본형으로 변형한 후, 주어진 범위 내에서 특수각을 이용하여 해를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 방정식을 $\cos x=k$ 꼴로 정리합니다.

step2. 주어진 $x$의 범위 내에서 코사인 값이 $k$가 되는 각을 찾습니다.

step3. 구한 각이 보기에 있는지 확인하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각방정식의 풀이: $\cos x=k$ 꼴로 변형한 후, 삼각함수의 그래프나 단위원을 이용하여 주어진 범위 내의 해를 구한다.

- 특수각의 삼각비: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$임을 이용하고, 대칭성을 통해 $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$ 성질을 활용한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각방정식을 풀 때는 먼저 $\cos x=k$ 형태로 식을 정리한 후, 주어진 $x$의 범위에서 해당하는 각을 찾아야 합니다.

step1. 주어진 방정식을 $\cos x=k$ 꼴로 정리합니다.

주어진 방정식은 $2\cos x+1=0$ 입니다.

상수항을 우변으로 이항하면,

$2\cos x=-1$

양변을 2로 나누면,

$\cos x=-\frac{1}{2}$ 이 됩니다.

step2. 주어진 $x$의 범위 내에서 코사인 값이 $-\frac{1}{2}$이 되는 각을 찾습니다.

문제에서 주어진 $x$의 범위는 $0\le x\le \pi$ 입니다.

이 범위는 제1사분면과 제2사분면에 해당합니다.

코사인 값이 음수이므로, $x$는 제2사분면의 각이어야 합니다.

우리가 알고 있는 특수각 중에서 $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ 입니다.

제2사분면에서 코사인 값이 $-\frac{1}{2}$이 되는 각은 대칭성에 의해 $\pi -\frac{\pi }{3}$ 로 구할 수 있습니다.

따라서 $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2}{3}\pi$ 입니다.

[함정경고] 코사인 값이 음수일 때, 제3사분면의 각($\frac{4}{3}\pi$)도 해가 될 수 있지만, 문제에서 주어진 범위가 $0\le x\le \pi$이므로 제2사분면의 각만 선택해야 합니다.

step3. 구한 각이 보기에 있는지 확인하여 정답을 도출합니다.

구한 해 $x=\frac{2}{3}\pi$는 보기 ④번과 일치합니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 방정식 정리

$2\cos x+1=0$

$2\cos x=-1$

$\cos x=-\frac{1}{2}$

step2. 해 구하기

--- $0\le x\le \pi$ 이므로 제2사분면의 각

$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ 이므로

$x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2}{3}\pi$

$\therefore 정답④$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기