2024년 6월 학평 (고2) 수학 6번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 6번
문제의 분류	고등학교 (사인법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

반지름의 길이가 6인 원에 내접하는 삼각형 ABC에서 $\sin A=\frac{1}{4}$ 일 때, $\overline{BC}$의 값은? [3점] ① 2 ② $\frac{5}{2}$ ③ 3 ④ $\frac{7}{2}$ ⑤ 4

1. 문제의 요지

이 문제는 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름과 한 각의 사인값이 주어졌을 때 대변의 길이를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 외접원의 반지름 $R=6$
- $\sin A=\frac{1}{4}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 사인법칙을 이용하여 대변의 길이를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 조건을 확인하고 사인법칙 공식을 떠올립니다.

step2. 사인법칙 공식에 주어진 값들을 대입하여 $\overline{BC}$의 길이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 사인법칙: 삼각형 ABC에서 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 이 성립합니다. (단, $a,b,c$는 각각 각 $A,B,C$의 대변의 길이)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 원에 내접하는 삼각형과 반지름이 주어졌을 때는 가장 먼저 '사인법칙'을 떠올려야 합니다.

step1. 주어진 조건을 확인하고 사인법칙 공식을 떠올립니다.

문제에서 삼각형 ABC가 반지름의 길이가 6인 원에 내접한다고 했으므로, 이 원은 삼각형 ABC의 외접원입니다.

따라서 외접원의 반지름 $R=6$ 입니다.

또한, $\sin A=\frac{1}{4}$ 이 주어졌습니다.

우리가 구해야 할 것은 각 A의 대변인 $\overline{BC}$의 길이입니다.

step2. 사인법칙 공식에 주어진 값들을 대입하여 $\overline{BC}$의 길이를 계산합니다.

사인법칙에 의해 다음 식이 성립합니다.

$\frac{\overline{BC}}{\sin A}=2R$

이 식에 $R=6$ 과 $\sin A=\frac{1}{4}$ 을 대입합니다.

$\frac{\overline{BC}}{\frac{1}{4}}=2\times 6$

$\frac{\overline{BC}}{\frac{1}{4}}=12$

양변에 $\frac{1}{4}$ 을 곱하여 $\overline{BC}$를 구합니다.

$\overline{BC}=12\times \frac{1}{4}=3$

[함정경고] 사인법칙에서 우변이 $R$이 아니라 $2R$ (지름)임을 잊지 않도록 주의하세요.

따라서 $\overline{BC}$의 길이는 3이며, 정답은 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 사인법칙 적용

$\frac{\overline{BC}}{\sin A}=2R$   --- (사인법칙)

step2. 값 대입 및 계산

$\frac{\overline{BC}}{\frac{1}{4}}=2\times 6=12$

$\overline{BC}=12\times \frac{1}{4}=3$

$\therefore 정답③$

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