2024년 6월 학평 (고2) 수학 10번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $y=5^x+1$의 역함수의 그래프가 점 $(4,{\log }_{5}a)$를 지날 때, $a$의 값은? [3점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 역함수의 성질을 이용하여 지수함수의 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=5^x+1$
- 역함수 $f^{-1}(x)$의 그래프가 점 $(4,{\log }_{5}a)$를 지남

3. 풀이의 순서

이 문제는 역함수의 성질을 이용하여 원래 함수의 함숫값으로 변환하여 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 역함수가 특정 점을 지난다는 조건을 원래 함수의 조건으로 바꿉니다.

step2. 원래 함수에 값을 대입하여 방정식을 세웁니다.

step3. 로그의 성질을 이용하여 방정식을 풀고 $a$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 역함수의 성질: 함수 $f$의 역함수가 $f^{-1}$일 때, $f^{-1}(b)=a$이면 $f(a)=b$이다.

- 로그의 성질: $c^{{\log }_{c}b}=b$ (단, $c>0,c\ne 1,b>0$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 역함수를 직접 구하지 않고, 역함수의 성질 $f^{-1}(b)=a⟺f(a)=b$를 이용하는 것이 핵심입니다.

step1. 역함수가 특정 점을 지난다는 조건을 원래 함수의 조건으로 바꿉니다.

주어진 함수를 $f(x)=5^x+1$이라고 합시다.

이 함수의 역함수 $f^{-1}(x)$의 그래프가 점 $(4,{\log }_{5}a)$를 지나므로, 다음 식이 성립합니다.

$f^{-1}(4)={\log }_{5}a$

역함수의 성질에 의해, 이는 원래 함수 $f(x)$가 점 $({\log }_{5}a,4)$를 지난다는 것과 같습니다.

즉, $f({\log }_{5}a)=4$입니다.

step2. 원래 함수에 값을 대입하여 방정식을 세웁니다.

$f(x)=5^x+1$의 $x$ 자리에 ${\log }_{5}a$를 대입합니다.

$f({\log }_{5}a)=5^{{\log }_{5}a}+1=4$

step3. 로그의 성질을 이용하여 방정식을 풀고 $a$의 값을 구합니다.

[함정경고] $5^{{\log }_{5}a}$를 계산할 때 로그의 밑과 지수의 밑이 같으면 진수만 남는다는 성질을 잊지 않도록 주의해야 합니다.

로그의 성질 $c^{{\log }_{c}b}=b$에 의해 $5^{{\log }_{5}a}=a$가 됩니다.

따라서 식은 다음과 같이 간단해집니다.

$a+1=4$

이를 풀면 $a=3$이 됩니다.

따라서 $a$의 값은 3이며, 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 역함수 성질 적용

$f(x)=5^x+1$ 이라 하면

$f^{-1}(4)={\log }_{5}a⟺f({\log }_{5}a)=4$

step2. 함수에 대입

$5^{{\log }_{5}a}+1=4$

step3. 로그 성질 이용

$a+1=4$   --- ($c^{{\log }_{c}b}=b$ 이용)

$a=3$

$\therefore 정답③$

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