2024년 6월 학평 (고2) 수학 13번

고2 수학/2024년 6월 학력평가 (고2) 수학

2024년 6월 학평 (고2) 수학 13번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 24. 22:30

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 13번
문제의 분류	고등학교 (지수부등식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

부등식

2^{2 x + 3} + 2 \leq 17 \times 2^{x}

을 만족시키는 정수

x

의 개수는? [3점] ① 1 ② 3 ③ 5 ④ 7 ⑤ 9

1. 문제의 요지

이 문제는 지수법칙을 이용하여 식을 정리하고, 치환을 통해 이차부등식으로 변환하여 해를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부등식:

2^{2 x + 3} + 2 \leq 17 \times 2^{x}

x

는 정수

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수법칙을 이용해 식을 정리한 후, 공통부분을 치환하여 이차부등식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 지수법칙을 이용하여 주어진 부등식을 $2^{x}$ 에 대한 식으로 정리합니다.

step2. $2^{x} = t$ 로 치환하여 $t$ 에 대한 이차부등식을 풉니다.

step3. 구한 $t$ 의 범위를 다시 $x$ 의 범위로 되돌려 정수 $x$ 의 개수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙: $a^{m + n} = a^{m} \times a^{n}$ , $a^{m n} = (a^{m})^{n}$

- 지수부등식의 성질: $a > 1$ 일 때, $a^{f (x)} \leq a^{g (x)}$ 이면 $f (x) \leq g (x)$ 이다.

5. 구체적 풀이

step1. 지수법칙을 이용하여 주어진 부등식을 $2^{x}$ 에 대한 식으로 정리합니다.

주어진 부등식은 $2^{2 x + 3} + 2 \leq 17 \times 2^{x}$ 입니다.

지수법칙 $a^{m + n} = a^{m} \times a^{n}$ 을 이용하면 $2^{2 x + 3} = 2^{3} \times 2^{2 x} = 8 \times (2^{x})^{2}$ 으로 변형할 수 있습니다.

따라서 부등식은 다음과 같이 정리됩니다.

$8 (2^{x})^{2} - 17 (2^{x}) + 2 \leq 0$

step2. $2^{x} = t$ 로 치환하여 $t$ 에 대한 이차부등식을 풉니다.

[키포인트] 공통부분인 $2^{x}$ 를 $t$ 로 치환하면 복잡한 지수부등식을 익숙한 이차부등식으로 바꿀 수 있습니다. 이때 지수함수의 성질에 의해 $t > 0$ 이라는 조건이 붙습니다.

$2^{x} = t$ ( $t > 0$ )로 치환하면 부등식은 다음과 같습니다.

$8 t^{2} - 17 t + 2 \leq 0$

이 이차식을 인수분해하면,

$(8 t - 1) (t - 2) \leq 0$ 이 됩니다.

따라서 $t$ 의 범위는 $\frac{1}{8} \leq t \leq 2$ 입니다. (이 범위는 $t > 0$ 조건을 만족합니다.)

step3. 구한 $t$ 의 범위를 다시 $x$ 의 범위로 되돌려 정수 $x$ 의 개수를 구합니다.

$t = 2^{x}$ 이므로 원래 변수 $x$ 로 되돌리면,

$\frac{1}{8} \leq 2^{x} \leq 2$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} = 2^{- 3}$ 이고, $2 = 2^{1}$ 이므로 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$2^{- 3} \leq 2^{x} \leq 2^{1}$

[함정경고] 밑이 1보다 큰지 작은지에 따라 부등호의 방향이 바뀔 수 있으므로 주의해야 합니다. 여기서는 밑이 2로 1보다 크므로 지수의 대소 관계는 부등호 방향이 그대로 유지됩니다.

따라서 $- 3 \leq x \leq 1$ 입니다.

이 범위를 만족하는 정수 $x$ 는 $- 3, - 2, - 1, 0, 1$ 입니다.

따라서 정수 $x$ 의 개수는 5개입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 정리

$2^{2 x + 3} + 2 \leq 17 \times 2^{x}$

$8 (2^{x})^{2} - 17 (2^{x}) + 2 \leq 0$

step2. 치환 및 이차부등식 풀이

$2^{x} = t$ ( $t > 0$ )로 치환

$8 t^{2} - 17 t + 2 \leq 0$

$(8 t - 1) (t - 2) \leq 0$

$\frac{1}{8} \leq t \leq 2$

step3. $x$ 의 범위 및 개수 구하기

$\frac{1}{8} \leq 2^{x} \leq 2$

$2^{- 3} \leq 2^{x} \leq 2^{1}$

$- 3 \leq x \leq 1$ --- (밑이 1보다 크므로 부등호 방향 유지)

정수 $x = - 3, - 2, - 1, 0, 1$

$∴ 정 답 : 5 개 (③)$

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