2024년 6월 학평 (고2) 수학 20번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 20번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 중심이 O이고 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 세 점 C, D, E가 $\overline{DE}=\overline{EB},\overline{CD}:\overline{DE}=1:\sqrt{2},\angle COE=\frac{\pi }{2}$를 만족시킨다. $\cos (\angle OBE)$의 값은? (단, 점 D는 점 B가 아니다.) ① $\frac{\sqrt{14}}{10}$ ② $\frac{2}{5}$ ③ $\frac{3\sqrt{2}}{10}$ ④ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ⑤ $\frac{\sqrt{22}}{10}$

1. 문제의 요지

이 문제는 원주각과 중심각의 관계, 코사인법칙을 이용하여 주어진 각의 코사인 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 선분 AB는 반원의 지름, 중심은 O, 길이 = 2 (반지름 = 1)
- 호 AB 위의 세 점 C, D, E
- $\overline{DE}=\overline{EB}$
- $\overline{CD}:\overline{DE}=1:\sqrt{2}$
- $\angle COE=\frac{\pi }{2}$
- 점 D는 점 B가 아님

3. 풀이의 순서

이 문제는 중심각을 미지수로 두고 코사인법칙을 적용하여 삼각방정식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $\angle DOE=\angle EOB=\theta$로 두고, $\overline{DE}$와 $\overline{CD}$의 길이를 $\theta$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 주어진 길이의 비를 이용하여 $\theta$에 대한 삼각방정식을 세우고 풉니다.

step3. 구한 $\theta$의 삼각비 값을 이용하여 $\angle OBE$의 코사인 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 코사인법칙: 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있습니다.

- 이등변삼각형의 성질: 두 변의 길이가 같은 삼각형은 두 밑각의 크기가 같습니다.

- 반각공식: ${\sin }^2(\frac{\theta }{2})=\frac{1-\cos \theta }{2}$

5. 구체적 풀이

이 문제는 [키포인트] 중심각을 미지수로 설정하고 코사인법칙을 활용하여 변의 길이를 삼각비로 표현하는 것이 핵심입니다.

step1. $\angle DOE=\angle EOB=\theta$로 두고, $\overline{DE}$와 $\overline{CD}$의 길이를 $\theta$에 대한 식으로 나타냅니다.

반원의 지름이 2이므로 반지름의 길이는 1입니다. 즉, $\overline{OC}=\overline{OD}=\overline{OE}=\overline{OB}=1$입니다.

조건에서 $\overline{DE}=\overline{EB}$이므로, 현의 길이가 같으면 그에 대한 중심각의 크기도 같습니다. 따라서 $\angle DOE=\angle EOB=\theta$라고 할 수 있습니다.

$△ODE$에서 코사인법칙을 적용하면,

${\overline{DE}}^2=1^2+1^2-2·1·1·\cos \theta =2-2\cos \theta$ 입니다.

또한, $\angle COE=\frac{\pi }{2}$이므로 $\angle COD=\angle COE-\angle DOE=\frac{\pi }{2}-\theta$입니다.

$△OCD$에서 코사인법칙을 적용하면,

${\overline{CD}}^2=1^2+1^2-2·1·1·\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=2-2\sin \theta$ 입니다.

step2. 주어진 길이의 비를 이용하여 $\theta$에 대한 삼각방정식을 세우고 풉니다.

조건에서 $\overline{CD}:\overline{DE}=1:\sqrt{2}$이므로, 양변을 제곱하면 ${\overline{CD}}^2:{\overline{DE}}^2=1:2$가 됩니다.

즉, $2{\overline{CD}}^2={\overline{DE}}^2$입니다.

앞서 구한 식을 대입하면,

$2(2-2\sin \theta )=2-2\cos \theta$

$4-4\sin \theta =2-2\cos \theta$

$2\cos \theta =4\sin \theta -2$

$\cos \theta =2\sin \theta -1$ 입니다.

[함정경고] 여기서 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 한 종류의 삼각함수로 통일하는 것을 잊지 마세요.

${\sin }^2\theta +(2\sin \theta -1{)}^2=1$

${\sin }^2\theta +4{\sin }^2\theta -4\sin \theta +1=1$

$5{\sin }^2\theta -4\sin \theta =0$

$\sin \theta (5\sin \theta -4)=0$

점 D는 점 B가 아니므로 $\theta \ne 0$이고, 따라서 $\sin \theta =\frac{4}{5}$입니다.

이때 $\cos \theta =2(\frac{4}{5})-1=\frac{3}{5}$입니다.

step3. 구한 $\theta$의 삼각비 값을 이용하여 $\angle OBE$의 코사인 값을 계산합니다.

$△OBE$는 $\overline{OB}=\overline{OE}=1$인 이등변삼각형입니다.

따라서 $\angle OBE=\frac{\pi -\angle EOB}{2}=\frac{\pi -\theta }{2}$입니다.

우리가 구하고자 하는 값은 $\cos (\angle OBE)$이므로,

$\cos (\angle OBE)=\cos (\frac{\pi -\theta }{2})=\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2})=\sin (\frac{\theta }{2})$ 입니다.

반각공식을 이용하면,

${\sin }^2(\frac{\theta }{2})=\frac{1-\cos \theta }{2}=\frac{1-\frac{3}{5}}{2}=\frac{\frac{2}{5}}{2}=\frac{1}{5}$ 입니다.

$\angle OBE$는 예각이므로 $\sin (\frac{\theta }{2})>0$입니다.

따라서 $\cos (\angle OBE)=\sin (\frac{\theta }{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ 입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 중심각 설정 및 코사인법칙

$\angle DOE=\angle EOB=\theta$ 라 하자.   --- $\because \overline{DE}=\overline{EB}$

${\overline{DE}}^2=1^2+1^2-2\cos \theta =2-2\cos \theta$

$\angle COD=\frac{\pi }{2}-\theta$

${\overline{CD}}^2=1^2+1^2-2\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=2-2\sin \theta$

step2. 삼각방정식 풀이

${\overline{CD}}^2:{\overline{DE}}^2=1:2$ 이므로 $2{\overline{CD}}^2={\overline{DE}}^2$

$2(2-2\sin \theta )=2-2\cos \theta$

$\cos \theta =2\sin \theta -1$

${\sin }^2\theta +(2\sin \theta -1{)}^2=1$

$5{\sin }^2\theta -4\sin \theta =0$

$\sin \theta =\frac{4}{5}$   --- $\because \theta \ne 0$

$\cos \theta =\frac{3}{5}$

step3. 정답 도출

$\angle OBE=\frac{\pi -\theta }{2}$

$\cos (\angle OBE)=\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{\theta }{2})=\sin (\frac{\theta }{2})$

${\sin }^2(\frac{\theta }{2})=\frac{1-\cos \theta }{2}=\frac{1-3/5}{2}=\frac{1}{5}$

따라서 $\cos (\angle OBE)=\frac{\sqrt{5}}{5}$

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