2024년 6월 학평 (고2) 수학 21번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 21번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

21. 2 이상의 자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)=3^x-n$의 그래프가 함수 $y=f^{-1}(x)$의 그래프와 만나는 두 점의 $x$좌표 중 큰 값을 $g(n)$이라 하자. $k\le g(n)<k+1$을 만족시키는 자연수 $k$를 $h(n)$이라 할 때, $h(n)<h(n+1)$을 만족시키는 100 이하의 모든 $n$의 값의 합은? [4점] ① 103 ② 105 ③ 107 ④ 109 ⑤ 111

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수와 그 역함수의 교점이 $y=x$ 위에 있음을 이용하여, 교점의 $x$좌표가 특정 정수 구간에 속하도록 하는 자연수 $n$의 범위를 추론하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 자연수 $n\ge 2$
- $f(x)=3^x-n$
- $g(n)$은 $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 교점의 $x$좌표 중 큰 값
- $k\le g(n)<k+1$을 만족하는 자연수 $k=h(n)$
- 구하는 값: $h(n)<h(n+1)$을 만족하는 100 이하의 모든 $n$의 값의 합

3. 풀이의 순서

이 문제는 증가하는 지수함수와 그 역함수의 교점이 $y=x$ 위에 있다는 성질을 이용하여, 교점의 $x$좌표가 정수가 되는 경계값을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수 $f(x)$와 그 역함수의 교점이 $y=x$ 위에 있음을 이용하여 $g(n)$이 만족하는 방정식을 세웁니다.

step2. $h(n)$의 정의를 분석하여 $h(n)<h(n+1)$이 되는 조건이 무엇인지 파악합니다.

step3. $g(n)$이 정수가 되는 $n$의 값을 찾아 경계를 구합니다.

step4. 100 이하의 범위에서 조건을 만족하는 $n$을 모두 찾아 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 증가함수와 역함수의 교점: 함수 $f(x)$가 증가함수일 때, $y=f(x)$와 $y=f^{-1}(x)$의 교점은 $y=f(x)$와 $y=x$의 교점과 일치합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 증가하는 지수함수와 그 역함수의 교점은 항상 직선 $y=x$ 위에 존재합니다. 이를 이용해 복잡한 역함수 식을 구하지 않고 $f(x)=x$라는 간단한 방정식으로 바꿀 수 있습니다.

step1. $g(n)$이 만족하는 방정식 세우기

함수 $f(x)=3^x-n$은 밑이 3이므로 증가함수입니다.

증가함수와 그 역함수의 교점은 직선 $y=x$ 위에 있으므로, 교점의 $x$좌표는 방정식 $3^x-n=x$의 실근입니다.

이 중 큰 근이 $g(n)$이므로, $3^{g(n)}-n=g(n)$이 성립합니다.

이를 $n$에 대해 정리하면 $n=3^{g(n)}-g(n)$이 됩니다.

step2. $h(n)<h(n+1)$의 의미 파악

$h(n)$은 $k\le g(n)<k+1$을 만족하는 정수 $k$이므로, $g(n)$의 정수 부분을 의미합니다.

$n$이 커질수록 $y=3^x-n$의 그래프는 아래로 내려가므로, $y=x$와의 교점인 $g(n)$은 점점 커집니다.

따라서 $h(n)<h(n+1)$이 성립한다는 것은, $n$에서 $n+1$로 넘어갈 때 $g(n)$의 정수 부분이 바뀐다는 뜻입니다.

즉, $g(n)<k+1$이다가 $g(n+1)\ge k+1$이 되는 순간을 찾아야 합니다.

step3. $g(n)$이 정수가 되는 경계값 찾기

$g(n)$이 정확히 정수 $m$이 되는 순간의 $n$값을 찾아봅시다.

$g(n)=m$을 $n=3^{g(n)}-g(n)$에 대입하면, $n=3^m-m$이 됩니다.

이때 $n$이 $3^m-m$이 되면 $g(n)=m$이 되어 $h(n)=m$이 됩니다.

그 직전인 $n=3^m-m-1$일 때는 $g(n)<m$이므로 $h(n)=m-1$입니다.

[함정경고] 여기서 $n$의 값을 $3^m-m$으로 착각하기 쉽습니다. $h(n)$의 값이 변하기 직전의 $n$을 찾아야 하므로 $3^m-m-1$이 되어야 합니다.

step4. 조건을 만족하는 100 이하의 $n$ 찾기

위에서 찾은 규칙에 따라 $m$에 자연수를 대입하여 $n$을 구합니다.

- $m=2$일 때: $n=3^2-2-1=6$

(확인: $n=6$이면 $h(6)=1$, $n=7$이면 $h(7)=2$이므로 $h(6)<h(7)$ 성립)

- $m=3$일 때: $n=3^3-3-1=23$

(확인: $n=23$이면 $h(23)=2$, $n=24$이면 $h(24)=3$이므로 $h(23)<h(24)$ 성립)

- $m=4$일 때: $n=3^4-4-1=76$

(확인: $n=76$이면 $h(76)=3$, $n=77$이면 $h(77)=4$이므로 $h(76)<h(77)$ 성립)

- $m=5$일 때: $n=3^5-5-1=237$ (100을 초과하므로 제외)

따라서 조건을 만족하는 100 이하의 자연수 $n$은 6, 23, 76입니다.

이들의 합은 $6+23+76=105$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. g(n) 방정식

$f(x)$는 증가함수이므로 교점은 $y=x$ 위에 존재

$3^{g(n)}-n=g(n)$

$n=3^{g(n)}-g(n)$

step2. h(n) 조건 분석

$h(n)=[g(n)]$   --- 정수부분

$h(n)<h(n+1)$이려면 $g(n)$의 정수부분이 바뀌어야 함

즉, $g(n)<m$ 이고 $g(n+1)\ge m$ 인 순간

step3. 경계값 찾기

$g(n)=m$ 일 때, $n=3^m-m$

이때 $h(n)=m$

직전인 $n=3^m-m-1$ 일 때 $h(n)=m-1$

따라서 조건을 만족하는 $n=3^m-m-1$

step4. 100 이하 n 계산

$m=2$: $n=3^2-2-1=6$

$m=3$: $n=3^3-3-1=23$

$m=4$: $n=3^4-4-1=76$

$m=5$: $n=3^5-5-1=237$   --- 범위 초과

따라서 $6+23+76=105$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기