2024년 6월 학평 (고2) 수학 23번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 23번
문제의 분류	고등학교 (로그방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

방정식 ${\log }_4(x-1)=3$의 해를 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 정의를 이용하여 로그방정식을 지수방정식으로 변환하여 해를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\log }_4(x-1)=3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 정의를 이용하여 지수 형태로 변환하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그의 정의를 이용하여 주어진 방정식을 지수 형태로 바꿉니다.

step2. 지수 계산을 통해 $x$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $x$의 값이 진수 조건을 만족하는지 확인하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의: $a>0,a\ne 1,b>0$일 때, ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$

5. 구체적 풀이

step1. 로그의 정의를 이용하여 주어진 방정식을 지수 형태로 바꿉니다.

주어진 방정식은 ${\log }_4(x-1)=3$입니다.

[키포인트] 로그의 정의 ${\log }_{a}b=c⟺a^c=b$를 이용하면, 로그방정식을 쉽게 지수방정식으로 바꿀 수 있습니다.

이를 적용하면 $4^3=x-1$이 됩니다.

step2. 지수 계산을 통해 $x$의 값을 구합니다.

$4^3=4\times 4\times 4=64$이므로,

$64=x-1$이 됩니다.

양변에 1을 더하면 $x=65$입니다.

step3. 구한 $x$의 값이 진수 조건을 만족하는지 확인하여 최종 정답을 도출합니다.

[함정경고] 로그방정식을 풀 때는 항상 진수 조건(진수 > 0)을 확인해야 합니다. 이를 놓치면 무연근을 답으로 적을 수 있습니다.

주어진 로그의 진수는 $x-1$이므로, 진수 조건은 $x-1>0$, 즉 $x>1$입니다.

우리가 구한 $x=65$는 $65>1$이므로 진수 조건을 만족합니다.

따라서 방정식의 해는 65입니다.

[정답] 65

⚡ 실전용 풀이

step1. 지수 형태로 변환

${\log }_4(x-1)=3$

$x-1=4^3$   --- (로그의 정의 이용)

step2. $x$ 값 계산

$x-1=64$

$x=65$

step3. 진수 조건 확인

$x-1>0\Rightarrow x>1$

$65>1$ 이므로 성립

$\therefore 65$

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