2024년 6월 학평 (고2) 수학 29번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 29번
문제의 분류	고등학교 (사인법칙과 코사인법칙)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 $\overline{AC}>2\sqrt{7}$ 인 삼각형 ABC에 대하여 선분 AC 위의 점 D가 $\overline{CD}=2\sqrt{7}$ , $\cos (\angle BDA)=\frac{\sqrt{7}}{4}$ 을 만족시킨다. 삼각형 ABC와 삼각형 ABD의 외접원의 반지름의 길이를 각각 $R_1$, $R_2$ 라 하자. $R_1:R_2=4:3$ 일 때, $\overline{BC}+\overline{BD}$ 의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 사인법칙을 이용하여 두 삼각형의 외접원의 반지름의 비를 변의 길이의 비로 변환하고, 코사인법칙을 적용하여 미지수인 변의 길이를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\overline{AC}>2\sqrt{7}$
- 점 D는 선분 AC 위의 점
- $\overline{CD}=2\sqrt{7}$
- $\cos (\angle BDA)=\frac{\sqrt{7}}{4}$
- 삼각형 ABC의 외접원의 반지름 $R_1$
- 삼각형 ABD의 외접원의 반지름 $R_2$
- $R_1:R_2=4:3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 사인법칙을 통해 두 변의 길이의 비를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 변의 길이를 직접 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 공통 각 $\angle A$를 기준으로 두 삼각형 $△ABC$와 $△ABD$에 사인법칙을 적용하여 $\overline{BC}$와 $\overline{BD}$의 길이의 비를 구합니다.

step2. $\angle BDA$와 $\angle BDC$가 보각 관계임을 이용하여 $\cos (\angle BDC)$의 값을 구합니다.

step3. $△BDC$에서 코사인법칙을 적용하여 미지수 $k$에 대한 이차방정식을 세우고 풉니다.

step4. 구한 $k$값을 이용하여 $\overline{BC}$와 $\overline{BD}$의 길이를 구하고, 그 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 사인법칙: 삼각형 $ABC$에서 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 이 성립한다.

- 코사인법칙: 삼각형 $ABC$에서 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 가 성립한다.

- 보각의 삼각비: $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$

5. 구체적 풀이

학생 여러분, 이 문제는 두 삼각형이 한 각을 공유하고 외접원의 반지름 비가 주어졌을 때, 사인법칙과 코사인법칙을 적절히 엮어서 푸는 전형적이고 중요한 문제입니다.

[키포인트] 공통 각 $\angle A$를 품고 있는 두 삼각형 $△ABC$와 $△ABD$에 각각 사인법칙을 적용하면, 외접원의 반지름 비를 변의 길이 비로 바꿀 수 있습니다!

step1. 사인법칙을 이용한 변의 길이 비 구하기

$△ABC$에서 외접원의 반지름이 $R_1$이므로 사인법칙에 의해 다음이 성립합니다.

$\frac{\overline{BC}}{\sin A}=2R_1$

마찬가지로 $△ABD$에서 외접원의 반지름이 $R_2$이므로 사인법칙에 의해 다음이 성립합니다.

$\frac{\overline{BD}}{\sin A}=2R_2$

위 두 식을 변끼리 나누어 주면,

$\frac{\overline{BC}}{\overline{BD}}=\frac{2R_1\sin A}{2R_2\sin A}=\frac{R_1}{R_2}$

문제에서 $R_1:R_2=4:3$ 이라고 주어졌으므로,

$\frac{\overline{BC}}{\overline{BD}}=\frac{4}{3}$ 입니다.

따라서 비례상수 $k$ ($k>0$)를 도입하여 $\overline{BC}=4k$, $\overline{BD}=3k$ 로 둘 수 있습니다.

step2. $\cos (\angle BDC)$ 구하기

점 D가 선분 AC 위에 있으므로, $\angle BDA$와 $\angle BDC$는 더해서 ${180}^{\circ }$ (즉, $\pi$)가 되는 보각 관계입니다.

$\angle BDC=\pi -\angle BDA$

[함정경고] 여기서 코사인 값의 부호에 주의해야 합니다. 둔각의 코사인 값은 음수입니다.

$\cos (\angle BDC)=\cos (\pi -\angle BDA)=-\cos (\angle BDA)$

문제에서 $\cos (\angle BDA)=\frac{\sqrt{7}}{4}$ 로 주어졌으므로,

$\cos (\angle BDC)=-\frac{\sqrt{7}}{4}$ 입니다.

step3. 코사인법칙을 이용한 $k$ 값 구하기

이제 $△BDC$의 세 변 $\overline{BC}=4k$, $\overline{BD}=3k$, $\overline{CD}=2\sqrt{7}$ 과 한 각 $\angle BDC$에 대한 코사인 값을 알고 있으므로, 코사인법칙을 적용할 수 있습니다.

${\overline{BC}}^2={\overline{BD}}^2+{\overline{CD}}^2-2·\overline{BD}·\overline{CD}·\cos (\angle BDC)$

이 식에 우리가 구한 값들을 대입하면,

$(4k{)}^2=(3k{)}^2+(2\sqrt{7}{)}^2-2·(3k)·(2\sqrt{7})·(-\frac{\sqrt{7}}{4})$

$16k^2=9k^2+28-12\sqrt{7}k·(-\frac{\sqrt{7}}{4})$

$16k^2=9k^2+28+3\sqrt{7}k·\sqrt{7}$

$16k^2=9k^2+28+21k$

이차방정식 형태로 정리하면,

$7k^2-21k-28=0$

양변을 7로 나누면,

$k^2-3k-4=0$

$(k-4)(k+1)=0$

길이는 양수여야 하므로 $k>0$ 입니다. 따라서 $k=4$ 입니다.

step4. 최종 정답 도출

$k=4$ 이므로,

$\overline{BC}=4k=4·4=16$

$\overline{BD}=3k=3·4=12$

따라서 우리가 구하고자 하는 값은

$\overline{BC}+\overline{BD}=16+12=28$ 입니다.

[정답] 28

⚡ 실전용 풀이

step1. 사인법칙

$\frac{\overline{BC}}{\sin A}=2R_1$

$\frac{\overline{BD}}{\sin A}=2R_2$

$\frac{\overline{BC}}{\overline{BD}}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{4}{3}$

$\therefore \overline{BC}=4k,\overline{BD}=3k(k>0)$

step2. 보각 관계

$\angle BDC=\pi -\angle BDA$

$\cos (\angle BDC)=-\cos (\angle BDA)=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

step3. 코사인법칙

$△BDC$에서

$(4k{)}^2=(3k{)}^2+(2\sqrt{7}{)}^2-2(3k)(2\sqrt{7})(-\frac{\sqrt{7}}{4})$

$16k^2=9k^2+28+21k$

$7k^2-21k-28=0$

$k^2-3k-4=0$

$(k-4)(k+1)=0$

$k=4(\because k>0)$

step4. 정답 도출

$\overline{BC}=16,\overline{BD}=12$

$\therefore \overline{BC}+\overline{BD}=28$

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