2024년 6월 학평 (고2) 수학 30번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 학평 (고2) 수학 30번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 최대최소)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

1보다 큰 실수 k에 대하여 함수 $f(x)=|2\sin \frac{\pi }{k}x+\frac{1}{2}|$이 다음 조건을 만족시킨다. 실수 $t(0\le t\le 2k)$에 대하여 $t\le x\le t+1$에서 함수 $f(x)$의 최댓값이 $\frac{1}{2}$이 되도록 하는 $t$의 값은 $\alpha$와 $\beta$뿐이다. $k\alpha +\beta$의 값을 구하시오. (단, $\alpha <\beta$)

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 그래프의 개형을 파악하고, 주어진 구간에서 함수의 최댓값이 특정 값이 되도록 하는 구간의 시작점 $t$의 조건을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- k > 1
- $f(x)=|2\sin (\frac{\pi }{k}x)+\frac{1}{2}|$
- 0 \le t \le 2k
- $구간[t,t+1]에서f(x)의최댓값이1/2이되는t는\alpha ,\beta 뿐이다(\alpha <\beta )$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 그래프를 분석하여 주어진 조건을 만족하는 구간의 길이를 추론하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수 $f(x)$가 $1/2$ 이하가 되는 $x$의 범위를 구합니다.

step2. 구간 $[t,t+1]$에서 $f(x)$의 최댓값이 $1/2$이 되기 위한 조건을 찾습니다.

step3. 조건을 만족하는 $t$가 단 두 개 존재한다는 사실로부터 $k$의 값을 결정합니다.

step4. $k$값을 바탕으로 $\alpha$와 $\beta$를 구하고 최종 답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각부등식: 삼각함수가 포함된 부등식을 풀 때, 치환이나 그래프를 이용하여 해의 범위를 구합니다.

5. 구체적 풀이

step1. 함수 $f(x)$가 $1/2$ 이하가 되는 $x$의 범위를 구합니다.

주어진 조건에서 구간 $[t,t+1]$에서의 $f(x)$의 최댓값이 $1/2$이 되려면, 이 구간 내의 모든 $x$에 대하여 $f(x)\le \frac{1}{2}$이어야 합니다.

$f(x)=|2\sin \frac{\pi }{k}x+\frac{1}{2}|\le \frac{1}{2}$ 부등식을 풉니다.

$-\frac{1}{2}\le 2\sin \frac{\pi }{k}x+\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}$

$-1\le 2\sin \frac{\pi }{k}x\le 0$

$-\frac{1}{2}\le \sin \frac{\pi }{k}x\le 0$

$0\le x\le 2k$ 범위에서 $\frac{\pi }{k}x$의 범위는 $0\le \frac{\pi }{k}x\le 2\pi$입니다.

이 범위에서 사인 함수의 값이 $-\frac{1}{2}$ 이상 $0$ 이하가 되는 각도를 찾으면,

$\pi \le \frac{\pi }{k}x\le \frac{7\pi }{6}$ 또는 $\frac{11\pi }{6}\le \frac{\pi }{k}x\le 2\pi$ 입니다.

각 변에 $\frac{k}{\pi }$를 곱하여 $x$의 범위를 구하면,

$k\le x\le \frac{7k}{6}$ 또는 $\frac{11k}{6}\le x\le 2k$ 가 됩니다.

step2. 구간 $[t,t+1]$에서 $f(x)$의 최댓값이 $1/2$이 되기 위한 조건을 찾습니다.

[키포인트] 구간 $[t,t+1]$ 전체가 $f(x)\le 1/2$인 영역에 포함되어야 합니다.

즉, $[t,t+1]\subset [k,\frac{7k}{6}]$ 이거나 $[t,t+1]\subset [\frac{11k}{6},2k]$ 이어야 합니다.

step3. 조건을 만족하는 $t$가 단 두 개 존재한다는 사실로부터 $k$의 값을 결정합니다.

첫 번째 구간 $[k,\frac{7k}{6}]$의 길이는 $\frac{k}{6}$입니다.

두 번째 구간 $[\frac{11k}{6},2k]$의 길이도 $\frac{k}{6}$입니다.

만약 구간의 길이 $\frac{k}{6}$가 $1$보다 크다면, 길이가 $1$인 구간 $[t,t+1]$이 포함될 수 있는 $t$의 값은 무수히 많아집니다.

[함정경고] $t$의 값이 $\alpha ,\beta$ 딱 두 개뿐이라는 조건을 놓치기 쉽습니다. 부등식을 만족하는 $t$가 유일하게 결정되려면 구간의 길이가 정확히 $1$이어야 합니다.

따라서 $\frac{k}{6}=1$이 되어야 하므로, $k=6$입니다.

step4. $k$값을 바탕으로 $\alpha$와 $\beta$를 구하고 최종 답을 계산합니다.

$k=6$을 대입하면, $f(x)\le 1/2$인 구간은 $[6,7]$과 $[11,12]$가 됩니다.

$[t,t+1]$이 $[6,7]$에 포함되려면 $t=6$이어야 합니다. (이때 $\alpha =6$)

$[t,t+1]$이 $[11,12]$에 포함되려면 $t=11$이어야 합니다. (이때 $\beta =11$)

따라서 $\alpha =6,\beta =11$입니다.

구하는 값은 $k\alpha +\beta =6\times 6+11=36+11=47$입니다.

[정답] 47

⚡ 실전용 풀이

step1. f(x) <= 12 범위

$|2\sin \frac{\pi }{k}x+\frac{1}{2}|\le \frac{1}{2}$

$-\frac{1}{2}\le 2\sin \frac{\pi }{k}x+\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}$

$-1\le 2\sin \frac{\pi }{k}x\le 0$

$-\frac{1}{2}\le \sin \frac{\pi }{k}x\le 0$

$\pi \le \frac{\pi }{k}x\le \frac{7\pi }{6}$ 또는 $\frac{11\pi }{6}\le \frac{\pi }{k}x\le 2\pi$

$k\le x\le \frac{7k}{6}$ 또는 $\frac{11k}{6}\le x\le 2k$

step2. , 3. k값 결정

---(t가 2개뿐이려면 구간의 길이가 1이어야 함)

$\frac{7k}{6}-k=\frac{k}{6}=1$

$\therefore k=6$

step4. 정답 도출

---(k=6 대입)

$6\le x\le 7$ 또는 $11\le x\le 12$

$t=6$ ($\alpha =6$), $t=11$   --- $\beta =11$

$k\alpha +\beta =6\times 6+11=47$

$\therefore 47$

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