2024년 6월 모평 (고3) 수학 10번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (사인법칙과 코사인법칙)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

다음 조건을 만족시키는 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 $9\pi$일 때, 삼각형 ABC의 넓이는? [4점] (가) $3\sin A=2\sin B$ (나) $\cos B=\cos C$ ① $\frac{32}{9}\sqrt{2}$ ② $\frac{40}{9}\sqrt{2}$ ③ $\frac{16}{3}\sqrt{2}$ ④ $\frac{56}{9}\sqrt{2}$ ⑤ $\frac{64}{9}\sqrt{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 사인법칙과 삼각형의 성질을 이용하여 삼각형의 세 변의 길이를 구하고, 이를 통해 삼각형의 넓이를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 삼각형 ABC의 외접원의 넓이 = $9\pi$
- (가) $3\sin A=2\sin B$
- (나) $\cos B=\cos C$

3. 풀이의 순서

이 문제는 외접원의 반지름과 사인법칙, 그리고 이등변삼각형의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 외접원의 넓이를 이용하여 외접원의 반지름 $R$을 구합니다.

step2. 조건 (나)를 이용하여 삼각형 ABC가 어떤 삼각형인지 파악합니다.

step3. 조건 (가)와 사인법칙을 이용하여 세 변의 길이의 비를 구합니다.

step4. 이등변삼각형의 성질을 이용하여 한 각의 코사인 값과 사인 값을 구합니다.

step5. 사인법칙을 이용하여 변의 길이를 구하고, 삼각형의 넓이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 사인법칙: 삼각형 ABC에서 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$이 성립합니다.

- 이등변삼각형의 성질: 두 밑각의 크기가 같고, 꼭지각에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 수직이등분합니다.

- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이 $a,b$와 그 끼인각 $C$를 알 때, 넓이 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$입니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 외접원의 반지름과 사인법칙, 그리고 이등변삼각형의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하는 방법으로 풀이합니다.

[키포인트] 조건 (나)에서 $\cos B=\cos C$임을 통해 삼각형 ABC가 이등변삼각형임을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 외접원의 넓이를 이용하여 외접원의 반지름 $R$을 구합니다.

삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 $9\pi$이므로, 외접원의 반지름을 $R$이라 하면

$\pi R^2=9\pi$

$R^2=9$

$R>0$이므로 $R=3$입니다.

step2. 조건 (나)를 이용하여 삼각형 ABC가 어떤 삼각형인지 파악합니다.

조건 (나)에서 $\cos B=\cos C$입니다.

삼각형의 내각 $B,C$는 $0<B,C<\pi$ 범위에 있습니다.

이 범위에서 코사인 함수는 일대일 대응이므로, $\cos B=\cos C$이면 $B=C$입니다.

따라서 삼각형 ABC는 $b=c$ (즉, $AC=AB$)인 이등변삼각형입니다.

step3. 조건 (가)와 사인법칙을 이용하여 세 변의 길이의 비를 구합니다.

사인법칙에 의해 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=2R=6$이므로,

$\sin A=\frac{a}{6}$, $\sin B=\frac{b}{6}$입니다.

조건 (가) $3\sin A=2\sin B$에 대입하면,

$3\times \frac{a}{6}=2\times \frac{b}{6}$

$3a=2b$

따라서 $a=\frac{2}{3}b$입니다.

step4. 이등변삼각형의 성질을 이용하여 한 각의 코사인 값과 사인 값을 구합니다.

점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면, 이등변삼각형의 성질에 의해 H는 선분 BC의 중점입니다.

따라서 $BH=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}b=\frac{1}{3}b$입니다.

직각삼각형 ABH에서 $\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{\frac{1}{3}b}{c}$입니다.

$b=c$이므로 $\cos B=\frac{\frac{1}{3}b}{b}=\frac{1}{3}$입니다.

${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$이고, $0<B<\pi$에서 $\sin B>0$이므로,

$\sin B=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$입니다.

[함정경고] 여기서 $\sin B$를 구할 때 부호를 양수로 선택해야 함을 놓치기 쉽습니다. 삼각형의 내각에 대한 사인 값은 항상 양수입니다.

step5. 사인법칙을 이용하여 변의 길이를 구하고, 삼각형의 넓이를 계산합니다.

사인법칙 $\frac{b}{\sin B}=6$에서,

$b=6\sin B=6\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$입니다.

$a=\frac{2}{3}b=\frac{2}{3}\times 4\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{2}}{3}$입니다.

$c=b=4\sqrt{2}$입니다.

삼각형 ABC의 넓이 $S$는

$S=\frac{1}{2}ac\sin B$

$S=\frac{1}{2}\times \frac{8\sqrt{2}}{3}\times 4\sqrt{2}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$S=\frac{1}{2}\times \frac{64}{3}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{64\sqrt{2}}{9}$입니다.

따라서 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 외접원 반지름

$\pi R^2=9\pi ⟹R=3$

step2. 삼각형 모양 파악

$\cos B=\cos C⟹B=C⟹b=c$

step3. 변의 길이 비

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=6⟹\sin A=\frac{a}{6},\sin B=\frac{b}{6}$

$3\sin A=2\sin B⟹3\left(\frac{a}{6}\right)=2\left(\frac{b}{6}\right)⟹a=\frac{2}{3}b$

step4. 삼각비 계산

---(이등변삼각형 수선의 발 H)

$BH=\frac{1}{2}a=\frac{1}{3}b$

$\cos B=\frac{BH}{c}=\frac{\frac{1}{3}b}{b}=\frac{1}{3}$

$\sin B=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

step5. 넓이 계산

$b=6\sin B=6\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=4\sqrt{2}$

$a=\frac{2}{3}b=\frac{8\sqrt{2}}{3}$

$c=4\sqrt{2}$

$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\times \frac{8\sqrt{2}}{3}\times 4\sqrt{2}\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{64\sqrt{2}}{9}$

$\therefore ⑤$

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