2024년 6월 모평 (고3) 수학 11번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (미분법)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 1이고 $f(0)=0$인 삼차함수 $f(x)$가 ${lim}_{x\to a}\frac{f(x)-1}{x-a}=3$을 만족시킨다. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 $y$절편이 4일 때, $f(1)$의 값은? (단, $a$는 상수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 미분계수의 정의와 접선의 방정식을 이용하여 삼차함수의 식을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$
- $f(0)=0$
- ${lim}_{x\to a}\frac{f(x)-1}{x-a}=3$
- 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 $y$절편이 4

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분계수의 정의를 이용하여 함수값과 미분계수를 구하고, 접선의 방정식을 통해 미지수를 찾아 함수의 식을 완성하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 극한 조건을 이용하여 $f(a)$와 $f^{\prime }(a)$의 값을 구합니다.

step2. 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식을 세우고, $y$절편 조건을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

step3. $f(x)$의 식을 미지수를 포함하여 세우고, 구한 조건들을 대입하여 미지수를 찾습니다.

step4. 완성된 $f(x)$의 식에 $x=1$을 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, ${lim}_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)$이다.

- 접선의 방정식: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 극한 조건 ${lim}_{x\to a}\frac{f(x)-1}{x-a}=3$을 해석하여 $f(a)$와 $f^{\prime }(a)$의 값을 알아내는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 극한 조건을 이용하여 $f(a)$와 $f^{\prime }(a)$의 값을 구합니다.

주어진 극한 ${lim}_{x\to a}\frac{f(x)-1}{x-a}=3$에서 $x\to a$일 때 분모가 0으로 수렴하므로, 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 수렴해야 합니다.

따라서 ${lim}_{x\to a}(f(x)-1)=0$이므로 $f(a)=1$입니다.

이를 극한식에 대입하면 ${lim}_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=3$이 되고, 미분계수의 정의에 의해 $f^{\prime }(a)=3$임을 알 수 있습니다.

step2. 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식을 세우고, $y$절편 조건을 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$입니다.

앞서 구한 $f(a)=1$과 $f^{\prime }(a)=3$을 대입하면 접선의 방정식은 $y-1=3(x-a)$, 즉 $y=3x-3a+1$이 됩니다.

이 접선의 $y$절편이 4라고 주어졌으므로, $x=0$일 때 $y=4$가 되어야 합니다.

따라서 $-3a+1=4$가 성립하고, 이를 풀면 $-3a=3$에서 $a=-1$이 됩니다.

step3. $f(x)$의 식을 미지수를 포함하여 세우고, 구한 조건들을 대입하여 미지수를 찾습니다.

최고차항의 계수가 1이고 $f(0)=0$인 삼차함수이므로, $f(x)=x^3+p{x}^2+qx$로 둘 수 있습니다.

이때 도함수는 $f^{\prime }(x)=3x^2+2px+q$입니다.

$a=-1$이므로, step1에서 구한 조건은 $f(-1)=1$과 $f^{\prime }(-1)=3$이 됩니다.

$f(-1)=(-1{)}^3+p(-1{)}^2+q(-1)=-1+p-q=1$에서 $p-q=2$입니다. --- (기억)

$f^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2+2p(-1)+q=3-2p+q=3$에서 $-2p+q=0$, 즉 $q=2p$입니다. --- (니은)

(니은)을 (기억)에 대입하면 $p-2p=2$에서 $-p=2$, 즉 $p=-2$가 됩니다.

$p=-2$를 (니은)에 대입하면 $q=2(-2)=-4$가 됩니다.

[함정경고] 연립방정식을 풀 때 부호 실수를 하기 쉬우므로, 대입과 이항 과정에서 주의해야 합니다.

step4. 완성된 $f(x)$의 식에 $x=1$을 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

구한 $p$와 $q$의 값을 대입하면 $f(x)=x^3-2x^2-4x$가 됩니다.

우리가 구하고자 하는 값은 $f(1)$이므로, $x=1$을 대입하면

$f(1)=1^3-2(1{)}^2-4(1)=1-2-4=-5$입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 극한 조건 해석

${lim}_{x\to a}\frac{f(x)-1}{x-a}=3$

$f(a)=1,f^{\prime }(a)=3$

step2. 접선의 방정식과 $a$ 구하기

$y-1=3(x-a)$

$y=3x-3a+1$

$-3a+1=4$   --- ($y$절편이 4이므로)

$a=-1$

step3. $f(x)$ 식 세우기 및 미지수 구하기

$f(x)=x^3+p{x}^2+qx$   --- ($f(0)=0$이므로)

$f^{\prime }(x)=3x^2+2px+q$

$f(-1)=-1+p-q=1\Rightarrow p-q=2$

$f^{\prime }(-1)=3-2p+q=3\Rightarrow q=2p$

$p-2p=2\Rightarrow p=-2,q=-4$

step4. 정답 도출

$f(x)=x^3-2x^2-4x$

$f(1)=1-2-4=-5$

$\therefore ⑤$

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