2024년 6월 모평 (고3) 수학 12번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 곡선 $y=1-2^{-x}$ 위의 제1사분면에 있는 점 A를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$와 만나는 점을 B라 하자. 점 A를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$와 만나는 점을 C, 점 C를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=1-2^{-x}$와 만나는 점을 D라 하자. $\overline{AB}=2\overline{CD}$ 일 때, 사각형 ABCD의 넓이는? [4점] ① $\frac{5}{2}{\log }_{2}3-\frac{5}{4}$ ② $3{\log }_{2}3-\frac{3}{2}$ ③ $\frac{7}{2}{\log }_{2}3-\frac{7}{4}$ ④ $4{\log }_{2}3-2$ ⑤ $\frac{9}{2}{\log }_{2}3-\frac{9}{4}$

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 그래프 위의 점들의 좌표를 미지수로 설정하고, 주어진 선분의 길이 조건을 이용하여 미지수를 구한 뒤, 사다리꼴의 넓이를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 점 A는 곡선 $y=1-2^{-x}$ 위의 제1사분면에 있는 점
- 점 B는 점 A를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$와 만나는 점
- 점 C는 점 A를 지나고 $x$축에 평행한 직선이 곡선 $y=2^x$와 만나는 점
- 점 D는 점 C를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=1-2^{-x}$와 만나는 점
- $\overline{AB}=2\overline{CD}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 점 A의 $x$좌표를 미지수로 두고 각 점의 좌표를 구한 뒤, 주어진 길이 조건을 이용하여 미지수를 찾고 사다리꼴의 넓이를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 A의 $x$좌표를 $a$로 두고, 점 A, B, C, D의 좌표를 $a$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 선분 AB와 CD의 길이를 $a$에 대한 식으로 나타내고, $\overline{AB}=2\overline{CD}$ 조건을 이용하여 방정식을 세웁니다.

step3. $2^a=t$로 치환하여 방정식을 풀고 $t$의 값을 구합니다.

step4. 구한 $t$의 값을 이용하여 사다리꼴 ABCD의 윗변, 아랫변, 높이를 구하고 넓이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수함수의 그래프와 좌표: 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 점의 좌표는 $(x,f(x))$로 나타낼 수 있습니다.

- 사다리꼴의 넓이: 평행한 두 변의 길이가 $a,b$이고 높이가 $h$인 사다리꼴의 넓이는 $\frac{1}{2}(a+b)h$입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 점 A의 $x$좌표를 미지수로 설정하고, 문제의 조건에 따라 나머지 점들의 좌표를 차례대로 구하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.

step1. 점 A의 $x$좌표를 $a$ ($a>0$)라 합시다.

점 A는 곡선 $y=1-2^{-x}$ 위에 있으므로 $A(a,1-2^{-a})$입니다.

점 B는 점 A를 지나고 $y$축에 평행한 직선 위에 있으므로 $x$좌표가 $a$이고, 곡선 $y=2^x$ 위에 있으므로 $B(a,2^a)$입니다.

점 C는 점 A를 지나고 $x$축에 평행한 직선 위에 있으므로 $y$좌표가 $1-2^{-a}$이고, 곡선 $y=2^x$ 위에 있습니다.

$2^x=1-2^{-a}$에서 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 $x={\log }_2(1-2^{-a})$입니다.

따라서 $C({\log }_2(1-2^{-a}),1-2^{-a})$입니다.

점 D는 점 C를 지나고 $y$축에 평행한 직선 위에 있으므로 $x$좌표가 ${\log }_2(1-2^{-a})$이고, 곡선 $y=1-2^{-x}$ 위에 있습니다.

$y$좌표는 $1-2^{-{\log }_2(1-2^{-a})}=1-\frac{1}{2^{{\log }_2(1-2^{-a})}}=1-\frac{1}{1-2^{-a}}$입니다.

따라서 $D({\log }_2(1-2^{-a}),1-\frac{1}{1-2^{-a}})$입니다.

step2. 선분 AB와 CD의 길이를 구합니다.

$\overline{AB}$는 점 B의 $y$좌표에서 점 A의 $y$좌표를 뺀 값입니다.

$\overline{AB}=2^a-(1-2^{-a})=2^a+2^{-a}-1$

$\overline{CD}$는 점 C의 $y$좌표에서 점 D의 $y$좌표를 뺀 값입니다.

$\overline{CD}=(1-2^{-a})-(1-\frac{1}{1-2^{-a}})=-2^{-a}+\frac{1}{1-2^{-a}}$

조건 $\overline{AB}=2\overline{CD}$에 대입하면,

$2^a+2^{-a}-1=2(-2^{-a}+\frac{1}{1-2^{-a}})$ 입니다.

step3. 방정식을 풀기 위해 $2^a=t$ ($t>1$)로 치환합니다.

$t+\frac{1}{t}-1=2(-\frac{1}{t}+\frac{1}{1-\frac{1}{t}})$

우변의 괄호 안을 정리하면,

$-\frac{1}{t}+\frac{1}{\frac{t-1}{t}}=-\frac{1}{t}+\frac{t}{t-1}$

따라서 방정식은 $t+\frac{1}{t}-1=2(-\frac{1}{t}+\frac{t}{t-1})$ 가 됩니다.

양변에 $t(t-1)$을 곱하여 분모를 없앱니다.

$(t^2-t+1)(t-1)=2(-(t-1)+t^2)$

$t^3-2t^2+2t-1=2t^2-2t+2$

$t^3-4t^2+4t-3=0$

[함정경고] 3차 방정식을 풀 때 조립제법을 활용하여 실근을 정확히 찾아야 합니다. 허근이 나올 수 있는 이차식 부분을 놓치지 않도록 주의하세요.

$t=3$을 대입하면 $27-36+12-3=0$이 성립하므로 조립제법을 사용합니다.

$(t-3)(t^2-t+1)=0$

여기서 $t^2-t+1=(t-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{3}{4}>0$이므로 실근은 $t=3$뿐입니다.

따라서 $2^a=3$이고, $a={\log }_{2}3$입니다.

step4. 사각형 ABCD의 넓이를 구합니다.

사각형 ABCD는 $\overline{AB}\parallel \overline{CD}$인 사다리꼴입니다.

사다리꼴의 높이 $h$는 점 A의 $x$좌표에서 점 C의 $x$좌표를 뺀 값입니다.

$h=a-{\log }_2(1-2^{-a})={\log }_{2}3-{\log }_2(1-\frac{1}{3})={\log }_{2}3-{\log }_2(\frac{2}{3})={\log }_{2}3-(1-{\log }_{2}3)=2{\log }_{2}3-1$

$\overline{AB}=t+\frac{1}{t}-1=3+\frac{1}{3}-1=\frac{7}{3}$

$\overline{CD}=\frac{1}{2}\overline{AB}=\frac{7}{6}$

사다리꼴의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.

$S=\frac{1}{2}(\overline{AB}+\overline{CD})\times h$

$S=\frac{1}{2}(\frac{7}{3}+\frac{7}{6})\times (2{\log }_{2}3-1)$

$S=\frac{1}{2}\times \frac{21}{6}\times (2{\log }_{2}3-1)$

$S=\frac{7}{4}(2{\log }_{2}3-1)=\frac{7}{2}{\log }_{2}3-\frac{7}{4}$

따라서 사각형 ABCD의 넓이는 $\frac{7}{2}{\log }_{2}3-\frac{7}{4}$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 좌표 설정

$A(a,1-2^{-a})$

$B(a,2^a)$

$C({\log }_2(1-2^{-a}),1-2^{-a})$

$D({\log }_2(1-2^{-a}),1-\frac{1}{1-2^{-a}})$

step2. 길이 조건

$\overline{AB}=2^a-(1-2^{-a})=2^a+2^{-a}-1$

$\overline{CD}=(1-2^{-a})-(1-\frac{1}{1-2^{-a}})=-2^{-a}+\frac{1}{1-2^{-a}}$

$2^a+2^{-a}-1=2(-2^{-a}+\frac{1}{1-2^{-a}})$

step3. 방정식 풀이

--- $2^a=t$ 로 치환

$t+\frac{1}{t}-1=2(-\frac{1}{t}+\frac{t}{t-1})$

$(t^2-t+1)(t-1)=2(-(t-1)+t^2)$

$t^3-4t^2+4t-3=0$

$(t-3)(t^2-t+1)=0$

$t=3\Rightarrow 2^a=3\Rightarrow a={\log }_{2}3$

step4. 넓이 계산

$h=a-{\log }_2(1-2^{-a})={\log }_{2}3-{\log }_2(1-\frac{1}{3})=2{\log }_{2}3-1$

$\overline{AB}=3+\frac{1}{3}-1=\frac{7}{3}$

$\overline{CD}=\frac{7}{6}$

$S=\frac{1}{2}(\frac{7}{3}+\frac{7}{6})(2{\log }_{2}3-1)=\frac{7}{4}(2{\log }_{2}3-1)$

따라서 $\frac{7}{2}{\log }_{2}3-\frac{7}{4}$

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