2024년 6월 모평 (고3) 수학 13번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 13번
문제의 분류	고등학교 (정적분의 활용)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

13. 곡선 $y=\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x$와 직선 $y=mx+2$ 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 곡선 $y=\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x$와 두 직선 $y=mx+2$, $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하자. $B-A=\frac{2}{3}$ 일 때, 상수 $m$의 값은? (단, $m<-1$) [4점] ① $-\frac{3}{2}$ ② $-\frac{17}{12}$ ③ $-\frac{4}{3}$ ④ $-\frac{5}{4}$ ⑤ $-\frac{7}{6}$

1. 문제의 요지

이 문제는 두 곡선 사이의 넓이의 차를 하나의 정적분으로 표현하여 미지수를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선 $y=\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x$
- 직선 $y=mx+2$
- $y$축 ($x=0$)
- 직선 $x=2$
- 넓이 $A$: $x=0$부터 교점까지 직선이 곡선보다 위에 있는 부분의 넓이
- 넓이 $B$: 교점부터 $x=2$까지 곡선이 직선보다 위에 있는 부분의 넓이
- $B-A=\frac{2}{3}$
- $m<-1$

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분과 넓이의 관계를 이용하여 두 넓이의 차를 하나의 정적분 식으로 나타내는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 설정하고, 넓이 $A$와 $B$를 정적분으로 표현합니다.

step2. 주어진 조건 $B-A$를 하나의 정적분 식으로 간단히 정리합니다.

step3. 정적분을 계산하여 $m$에 대한 일차방정식을 세우고, 이를 풀어 $m$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분과 넓이의 관계: 닫힌구간 $[a,b]$에서 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$ 사이의 넓이 $S$는 $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$ 이다.

- 정적분의 성질: ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$

5. 구체적 풀이

[키포인트] $B-A$의 값을 구하기 위해 교점의 좌표를 직접 구하고 각각의 넓이를 따로 계산하는 것은 매우 복잡합니다. 대신 정적분의 성질을 이용하면 ${\int }_0^2(f(x)-g(x))dx$ 로 한 번에 계산할 수 있다는 점을 파악하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$를 설정하고, 넓이 $A$와 $B$를 정적분으로 표현합니다.

곡선을 $f(x)=\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x$, 직선을 $g(x)=mx+2$라 합시다.

그림에서 두 그래프의 교점의 $x$좌표를 $\alpha$ ($0<\alpha <2$)라 하면,

$0\le x\le \alpha$ 구간에서는 직선이 곡선보다 위에 있으므로 ($g(x)\ge f(x)$)

$A={\int }_0^{\alpha }(g(x)-f(x))dx$ 입니다.

$\alpha \le x\le 2$ 구간에서는 곡선이 직선보다 위에 있으므로 ($f(x)\ge g(x)$)

$B={\int }_{\alpha }^2(f(x)-g(x))dx$ 입니다.

step2. 주어진 조건 $B-A$를 하나의 정적분 식으로 간단히 정리합니다.

[함정경고] $A-B$인지 $B-A$인지 부호에 주의해야 합니다. $B$는 $f(x)$에서 $g(x)$를 뺀 적분이고, $A$는 $g(x)$에서 $f(x)$를 뺀 적분이므로, $B-A$를 계산할 때 부호가 맞춰집니다.

$B-A={\int }_{\alpha }^2(f(x)-g(x))dx-{\int }_0^{\alpha }(g(x)-f(x))dx$

여기서 $-{\int }_0^{\alpha }(g(x)-f(x))dx={\int }_0^{\alpha }(f(x)-g(x))dx$ 이므로,

$B-A={\int }_{\alpha }^2(f(x)-g(x))dx+{\int }_0^{\alpha }(f(x)-g(x))dx$

정적분의 성질에 의해 두 적분 구간이 이어지므로,

$B-A={\int }_0^2(f(x)-g(x))dx$ 가 됩니다.

문제에서 $B-A=\frac{2}{3}$ 이라 했으므로, ${\int }_0^2(f(x)-g(x))dx=\frac{2}{3}$ 입니다.

step3. 정적분을 계산하여 $m$에 대한 방정식을 세우고, 이를 풀어 $m$의 값을 구합니다.

${\int }_0^2(\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x-(mx+2))dx=\frac{2}{3}$

${\int }_0^2(\frac{1}{4}{x}^3+(\frac{1}{2}-m)x-2)dx=\frac{2}{3}$

적분을 계산하면,

${[\frac{1}{16}{x}^4+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-m)x^2-2x]}_0^2=\frac{2}{3}$

$x=2$를 대입하면,

$\frac{1}{16}(16)+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-m)(4)-2(2)=\frac{2}{3}$

$1+2(\frac{1}{2}-m)-4=\frac{2}{3}$

$1+1-2m-4=\frac{2}{3}$

$-2-2m=\frac{2}{3}$

$-2m=\frac{8}{3}$

$\therefore m=-\frac{4}{3}$

이는 조건 $m<-1$을 만족합니다.

따라서 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 넓이의 정적분 표현

$f(x)=\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x$, $g(x)=mx+2$

교점의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면

$A={\int }_0^{\alpha }(g(x)-f(x))dx$

$B={\int }_{\alpha }^2(f(x)-g(x))dx$

step2. $B-A$ 식 정리

$B-A={\int }_{\alpha }^2(f(x)-g(x))dx-{\int }_0^{\alpha }(g(x)-f(x))dx$

$={\int }_{\alpha }^2(f(x)-g(x))dx+{\int }_0^{\alpha }(f(x)-g(x))dx$

$={\int }_0^2(f(x)-g(x))dx$   --- (정적분의 성질 이용)

step3. 정적분 계산 및 $m$ 구하기

${\int }_0^2(\frac{1}{4}{x}^3+\frac{1}{2}x-mx-2)dx=\frac{2}{3}$

${[\frac{1}{16}{x}^4+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-m)x^2-2x]}_0^2=\frac{2}{3}$

$1+2(\frac{1}{2}-m)-4=\frac{2}{3}$

$-2-2m=\frac{2}{3}$

$-2m=\frac{8}{3}$

$\therefore m=-\frac{4}{3}$

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