2024년 6월 모평 (고3) 수학 16번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 16번
문제의 분류	고등학교 (로그방정식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

방정식 ${\log }_2(x+1)-5={\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 밑을 통일하고 진수 조건을 고려하여 로그방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\log }_2(x+1)-5={\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 진수 조건을 먼저 구한 후, 밑을 통일하여 이차방정식으로 변환하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그가 정의되기 위한 진수 조건을 구합니다.

step2. 로그의 밑을 2로 통일하고 식을 정리합니다.

step3. 로그의 성질을 이용하여 하나의 로그로 합친 후, 이차방정식을 세웁니다.

step4. 이차방정식을 풀고, 진수 조건을 만족하는 최종 해를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 진수 조건: ${\log }_a(b)$가 정의되려면 $b>0$이어야 합니다.

- 로그의 밑 변환 성질: ${\log }_{a^n}(b)=\frac{1}{n}{\log }_a(b)$

- 로그의 덧셈 성질: ${\log }_a(M)+{\log }_a(N)={\log }_a(MN)$ (단, $M>0,N>0$)

- 로그의 정의: ${\log }_a(b)=c⟺a^c=b$

5. 구체적 풀이

이 문제는 로그의 진수 조건을 먼저 구한 후, 밑을 통일하여 이차방정식으로 변환하는 방법으로 풀이합니다.

[키포인트] 로그방정식을 풀 때는 항상 가장 먼저 진수 조건을 확인해야 합니다. 이를 놓치면 무연근(조건을 만족하지 않는 가짜 해)을 답으로 적는 실수를 할 수 있습니다.

step1. 로그가 정의되기 위한 진수 조건을 구합니다.

주어진 방정식 ${\log }_2(x+1)-5={\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)$에서 진수는 $x+1$과 $x-3$입니다.

진수 조건에 의해 $x+1>0$ 이고 $x-3>0$ 이어야 합니다.

즉, $x>-1$ 이고 $x>3$ 이므로, 공통 범위는 $x>3$ 입니다.

step2. 로그의 밑을 2로 통일하고 식을 정리합니다.

우변의 로그 밑이 $\frac{1}{2}$이므로, 이를 2로 바꿉니다.

$\frac{1}{2}=2^{-1}$ 이므로, 로그의 성질 ${\log }_{a^n}(b)=\frac{1}{n}{\log }_a(b)$를 이용하면

${\log }_{\frac{1}{2}}(x-3)={\log }_{2^{-1}}(x-3)=-{\log }_2(x-3)$ 이 됩니다.

이를 원래 방정식에 대입하면:

${\log }_2(x+1)-5=-{\log }_2(x-3)$

$-{\log }_2(x-3)$을 좌변으로 이항하면:

${\log }_2(x+1)+{\log }_2(x-3)=5$

step3. 로그의 성질을 이용하여 하나의 로그로 합친 후, 이차방정식을 세웁니다.

로그의 덧셈 성질 ${\log }_a(M)+{\log }_a(N)={\log }_a(MN)$을 이용하여 좌변을 합칩니다.

${\log }_2((x+1)(x-3))=5$

로그의 정의 ${\log }_a(b)=c⟺a^c=b$를 이용하여 로그를 지수 형태로 바꿉니다.

$(x+1)(x-3)=2^5$

$(x+1)(x-3)=32$

step4. 이차방정식을 풀고, 진수 조건을 만족하는 최종 해를 구합니다.

좌변을 전개하면:

$x^2-2x-3=32$

32를 좌변으로 이항하여 정리하면:

$x^2-2x-35=0$

이차방정식을 인수분해합니다.

$(x-7)(x+5)=0$

따라서 $x=7$ 또는 $x=-5$ 입니다.

[함정경고] 여기서 구한 두 값을 모두 답으로 적기 쉽습니다. 하지만 step1에서 구한 진수 조건 $x>3$을 반드시 확인해야 합니다.

$x=-5$는 진수 조건 $x>3$을 만족하지 않으므로 버려야 합니다.

따라서 조건을 만족하는 실수 $x$의 값은 7입니다.

[정답] 7

⚡ 실전용 풀이

step1. 진수 조건

$x+1>0,x-3>0⟹x>3$

step2. 밑 통일 및 식 정리

${\log }_2(x+1)-5=-{\log }_2(x-3)$

${\log }_2(x+1)+{\log }_2(x-3)=5$

step3. 로그 합치기 및 이차방정식

${\log }_2((x+1)(x-3))=5$

$(x+1)(x-3)=2^5=32$

step4. 방정식 풀이

$x^2-2x-3=32$

$x^2-2x-35=0$

$(x-7)(x+5)=0$

$x=7$ 또는 $x=-5$

$x>3$ 이므로 $x=7$

$\therefore 7$

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