2024년 6월 모평 (고3) 수학 20번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 20번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 방정식)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

5 이하의 두 자연수 $a,b$에 대하여 열린구간 $(0,2\pi )$에서 정의된 함수 $y=a\sin x+b$의 그래프가 직선 $x=\pi$와 만나는 점의 집합을 $A$라 하고, 두 직선 $y=1,y=3$과 만나는 점의 집합을 각각 $B,C$라 하자. $n(A\cup B\cup C)=3$이 되도록 하는 $a,b$의 순서쌍 $(a,b)$에 대하여 $a+b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M\times m$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 그래프의 특징(주기성, 대칭성, 최댓값, 최솟값)을 이해하고, 주어진 조건 $n(A\cup B\cup C)=3$을 만족하는 미정계수 $a,b$의 조건을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $a,b$는 5 이하의 자연수 ($1\le a,b\le 5$)
- 함수 $f(x)=a\sin x+b$, 정의역은 $(0,2\pi )$
- 집합 $A=\{(x,f(x))\mid x=\pi \}$
- 집합 $B=\{(x,f(x))\mid f(x)=1\}$
- 집합 $C=\{(x,f(x))\mid f(x)=3\}$
- $n(A\cup B\cup C)=3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각방정식의 실근의 개수를 그래프의 교점의 개수로 해석하여 조건을 만족하는 미정계수를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 집합 $A,B,C$의 원소의 개수와 그 의미를 파악합니다.

step2. $x=\pi$가 집합 $B$ 또는 $C$의 원소와 겹치는 경우($b=1$ 또는 $b=3$)를 나누어 조건을 만족하는 $(a,b)$를 찾습니다.

step3. $x=\pi$가 집합 $B,C$의 원소와 겹치지 않는 경우($b\ne 1,3$)를 나누어 조건을 만족하는 $(a,b)$를 찾습니다.

step4. 구한 모든 순서쌍 $(a,b)$에 대하여 $a+b$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 구하고, $M\times m$을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각방정식의 실근의 개수: 열린구간 $(0,2\pi )$에서 방정식 $\sin x=k$의 실근의 개수는 $k=1$ 또는 $k=-1$일 때 1개, $-1<k<1$일 때 2개, $k>1$ 또는 $k<-1$일 때 0개이다.

5. 구체적 풀이

step1. 집합 $A,B,C$의 원소의 개수와 그 의미를 파악합니다.

함수 $f(x)=a\sin x+b$의 정의역은 $(0,2\pi )$입니다.

집합 $A$는 $x=\pi$일 때의 점이므로, $f(\pi )=a\sin \pi +b=b$입니다. 따라서 $A=\{(\pi ,b)\}$이고, $n(A)=1$입니다.

집합 $B$는 $f(x)=1$을 만족하는 점들의 집합이므로, $a\sin x+b=1$에서 $\sin x=\frac{1-b}{a}$의 해의 집합과 같습니다.

집합 $C$는 $f(x)=3$을 만족하는 점들의 집합이므로, $a\sin x+b=3$에서 $\sin x=\frac{3-b}{a}$의 해의 집합과 같습니다.

$A,B,C$는 모두 함수 $y=f(x)$ 위의 점들이므로, $x$좌표의 개수가 곧 점의 개수입니다.

$n(A\cup B\cup C)=3$이어야 하므로, $x=\pi$와 $\sin x=\frac{1-b}{a}$, $\sin x=\frac{3-b}{a}$의 해들의 합집합의 원소의 개수가 3개여야 합니다.

[키포인트] $\sin x=k$의 실근의 개수는 $k$의 값에 따라 달라지며, 특히 $x=\pi$가 근이 되는 경우는 $k=0$일 때입니다. 따라서 $b$의 값에 따라 경우를 나누어 생각해야 합니다.

step2. $x=\pi$가 집합 $B$ 또는 $C$의 원소와 겹치는 경우($b=1$ 또는 $b=3$)를 나누어 조건을 만족하는 $(a,b)$를 찾습니다.

(1) $b=1$인 경우

$\sin x=0$ 또는 $\sin x=\frac{2}{a}$입니다.

$\sin x=0$의 해는 $x=\pi$이므로 집합 $A$의 원소와 일치합니다. 따라서 $A\cup B$의 원소의 개수는 1개입니다.

$n(A\cup B\cup C)=3$이 되려면 $\sin x=\frac{2}{a}$의 해가 2개여야 합니다.

즉, $0<\frac{2}{a}<1$이어야 하므로 $a>2$입니다.

$a$는 5 이하의 자연수이므로 $a=3,4,5$입니다.

가능한 순서쌍 $(a,b)$는 $(3,1),(4,1),(5,1)$입니다.

(2) $b=3$인 경우

$\sin x=\frac{-2}{a}$ 또는 $\sin x=0$입니다.

$\sin x=0$의 해는 $x=\pi$이므로 집합 $A$의 원소와 일치합니다. 따라서 $A\cup C$의 원소의 개수는 1개입니다.

$n(A\cup B\cup C)=3$이 되려면 $\sin x=\frac{-2}{a}$의 해가 2개여야 합니다.

즉, $-1<\frac{-2}{a}<0$이어야 하므로 $a>2$입니다.

$a$는 5 이하의 자연수이므로 $a=3,4,5$입니다.

가능한 순서쌍 $(a,b)$는 $(3,3),(4,3),(5,3)$입니다.

step3. $x=\pi$가 집합 $B,C$의 원소와 겹치지 않는 경우($b\ne 1,3$)를 나누어 조건을 만족하는 $(a,b)$를 찾습니다.

$b$는 2, 4, 5 중 하나입니다.

이 경우 $x=\pi$는 $B,C$의 해가 아니므로, $n(B)+n(C)=2$이어야 합니다.

$\frac{1-b}{a}<\frac{3-b}{a}$이므로, $n(B)$와 $n(C)$의 가능한 조합은 $(2,0),(0,2),(1,1)$입니다.

(1) $n(B)=2,n(C)=0$인 경우

$-1<\frac{1-b}{a}<1$ 이고 $\frac{3-b}{a}\le -1$ 또는 $\frac{3-b}{a}\ge 1$이어야 합니다.

$b=2,4,5$를 대입하여 확인해보면 이를 만족하는 자연수 $a$는 존재하지 않습니다.

(2) $n(B)=0,n(C)=2$인 경우

$\frac{1-b}{a}\le -1$ 또는 $\frac{1-b}{a}\ge 1$ 이고 $-1<\frac{3-b}{a}<1$이어야 합니다.

$b=4$일 때, $\frac{-3}{a}\le -1⟹a\le 3$ 이고 $-1<\frac{-1}{a}<0⟹a>1$이므로 $a=2,3$입니다.

단, $a=3$이면 $\frac{-3}{3}=-1$이 되어 $n(B)=1$이 되므로 모순입니다. 따라서 $a=2$입니다. $(2,4)$

$b=5$일 때, $\frac{-4}{a}\le -1⟹a\le 4$ 이고 $-1<\frac{-2}{a}<0⟹a>2$이므로 $a=3,4$입니다.

단, $a=4$이면 $\frac{-4}{4}=-1$이 되어 $n(B)=1$이 되므로 모순입니다. 따라서 $a=3$입니다. $(3,5)$

(3) $n(B)=1,n(C)=1$인 경우

$\frac{1-b}{a}=-1$ 이고 $\frac{3-b}{a}=1$이어야 합니다.

$a=b-1$ 이고 $a=3-b$이므로 $b-1=3-b$에서 $b=2$입니다.

$b=2$이면 $a=1$입니다. $(1,2)$

[함정경고] $n(B)=0$ 또는 $n(C)=0$인 조건을 확인할 때, 경계값인 $-1$ 또는 $1$이 되어 해가 1개가 되는 경우를 놓치기 쉽습니다. 반드시 경계값을 대입하여 해의 개수를 확인해야 합니다.

step4. 구한 모든 순서쌍 $(a,b)$에 대하여 $a+b$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$을 구하고, $M\times m$을 계산합니다.

가능한 순서쌍 $(a,b)$와 $a+b$의 값은 다음과 같습니다.

$(3,1)⟹4$

$(4,1)⟹5$

$(5,1)⟹6$

$(3,3)⟹6$

$(4,3)⟹7$

$(5,3)⟹8$

$(2,4)⟹6$

$(3,5)⟹8$

$(1,2)⟹3$

따라서 $a+b$의 최댓값 $M=8$, 최솟값 $m=3$입니다.

$M\times m=8\times 3=24$입니다.

[정답] 24

⚡ 실전용 풀이

step1. 집합 A, B, C 파악

$f(x)=a\sin x+b$

$A=\{(\pi ,b)\}⟹n(A)=1$

$B:\sin x=\frac{1-b}{a}$

$C:\sin x=\frac{3-b}{a}$

$n(A\cup B\cup C)=3$

step2. $x=\pi$가 겹치는 경우

(1) $b=1$

$\sin x=0⟹x=\pi$   --- A와 겹침

$\sin x=\frac{2}{a}$   --- 해 2개 필요

$0<\frac{2}{a}<1⟹a>2⟹a=3,4,5$

$(a,b)=(3,1),(4,1),(5,1)$

(2) $b=3$

$\sin x=\frac{-2}{a}$   --- 해 2개 필요

$\sin x=0⟹x=\pi$   --- A와 겹침

$-1<\frac{-2}{a}<0⟹a>2⟹a=3,4,5$

$(a,b)=(3,3),(4,3),(5,3)$

step3. $x=\pi$가 겹치지 않는 경우

$b=2,4,5⟹n(B)+n(C)=2$

(1) $n(B)=2,n(C)=0$

$-1<\frac{1-b}{a}<1,\frac{3-b}{a}\le -1$ 또는 $\ge 1$   --- 만족하는 a 없음

(2) $n(B)=0,n(C)=2$

$\frac{1-b}{a}\le -1$ 또는 $\ge 1,-1<\frac{3-b}{a}<1$

$b=4⟹\frac{-3}{a}\le -1⟹a\le 3$, $-1<\frac{-1}{a}<0⟹a>1$

$a=2,3$ ($a=3$이면 $n(B)=1$ 모순) $⟹(2,4)$

$b=5⟹\frac{-4}{a}\le -1⟹a\le 4$, $-1<\frac{-2}{a}<0⟹a>2$

$a=3,4$ ($a=4$이면 $n(B)=1$ 모순) $⟹(3,5)$

(3) $n(B)=1,n(C)=1$

$\frac{1-b}{a}=-1,\frac{3-b}{a}=1$

$a=b-1=3-b⟹b=2,a=1⟹(1,2)$

step4. 최댓값, 최솟값 계산

$a+b$ 후보: 4, 5, 6, 6, 7, 8, 6, 8, 3

$M=8,m=3$

따라서 $M\times m=24$

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