2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률의 덧셈정리)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

문자 $a,b,c,d$ 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 문자열 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 문자 $a$가 한 개만 포함되거나 문자 $b$가 한 개만 포함된 문자열이 선택될 확률은? [3점] ① $\frac{5}{8}$ ② $\frac{41}{64}$ ③ $\frac{21}{32}$ ④ $\frac{43}{64}$ ⑤ $\frac{11}{16}$

1. 문제의 요지

이 문제는 중복순열을 이용하여 전체 경우의 수를 구하고, 두 사건의 합사건의 확률을 확률의 덧셈정리를 이용하여 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 문자 종류: $a,b,c,d$ (4개)
- 선택 방법: 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열
- 사건 A: 문자 $a$가 한 개만 포함된 문자열이 선택되는 사건
- 사건 B: 문자 $b$가 한 개만 포함된 문자열이 선택되는 사건
- 구하는 확률: $P(A\cup B)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 전체 경우의 수를 구한 뒤, 확률의 덧셈정리를 이용하여 두 사건의 합사건의 확률을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 중복순열을 이용하여 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. 문자 $a$가 한 개만 포함되는 사건(A)의 경우의 수를 구합니다.

step3. 문자 $b$가 한 개만 포함되는 사건(B)의 경우의 수를 구합니다.

step4. 문자 $a$와 $b$가 각각 한 개씩 포함되는 사건($A\cap B$)의 경우의 수를 구합니다.

step5. 확률의 덧셈정리를 이용하여 최종 확률을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 중복순열: 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는 $n^r$입니다.

- 확률의 덧셈정리: 두 사건 $A,B$에 대하여 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 'A이거나 B일 확률'을 구할 때는 확률의 덧셈정리 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$를 떠올려야 합니다.

step1. 전체 경우의 수 구하기

서로 다른 4개의 문자 $a,b,c,d$ 중에서 중복을 허락하여 4개를 택해 일렬로 나열하는 전체 경우의 수는 중복순열을 이용하여 구합니다.

전체 경우의 수 = $4^4=256$

step2. 사건 A의 경우의 수 구하기

문자 $a$가 한 개만 포함되는 사건을 $A$라고 합시다.

4개의 자리 중 $a$가 들어갈 1개의 자리를 선택하는 경우의 수는 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$입니다.

나머지 3개의 자리에는 $a$를 제외한 $b,c,d$ 3개의 문자 중에서 중복을 허락하여 나열해야 하므로 경우의 수는 $3^3=27$입니다.

따라서 사건 $A$의 경우의 수 $n(A)=4\times 27=108$입니다.

step3. 사건 B의 경우의 수 구하기

문자 $b$가 한 개만 포함되는 사건을 $B$라고 합시다.

사건 $A$와 같은 논리로, 4개의 자리 중 $b$가 들어갈 1개의 자리를 선택하고, 나머지 3개의 자리에 $a,c,d$ 3개의 문자를 나열합니다.

따라서 사건 $B$의 경우의 수 $n(B)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\times 3^3=4\times 27=108$입니다.

step4. 사건 $A\cap B$의 경우의 수 구하기

[함정경고] 사건 A와 사건 B는 동시에 일어날 수 있으므로, 교집합의 경우의 수를 반드시 빼주어야 합니다. 이를 놓치면 확률이 1을 넘어가거나 잘못된 답을 얻게 됩니다.

사건 $A\cap B$는 문자 $a$가 한 개, 문자 $b$가 한 개 포함되는 사건입니다.

4개의 자리 중 $a$가 들어갈 1개의 자리를 선택하는 경우의 수는 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$입니다.

남은 3개의 자리 중 $b$가 들어갈 1개의 자리를 선택하는 경우의 수는 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=3$입니다.

나머지 2개의 자리에는 $a,b$를 제외한 $c,d$ 2개의 문자 중에서 중복을 허락하여 나열해야 하므로 경우의 수는 $2^2=4$입니다.

따라서 사건 $A\cap B$의 경우의 수 $n(A\cap B)=4\times 3\times 4=48$입니다.

step5. 최종 확률 계산하기

확률의 덧셈정리에 의해 구하는 경우의 수는 다음과 같습니다.

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=108+108-48=168$

따라서 구하는 확률은 $\frac{168}{256}$입니다.

분모와 분자를 8로 약분하면 $\frac{21}{32}$이 됩니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

전체 = 4⁴ = 256

step2. a가 1개인 경우

$n(A)=4C1\times 3^3=4\times 27=108$

step3. b가 1개인 경우

$n(B)=4C1\times 3^3=4\times 27=108$

step4. a가 1개, b가 1개인 경우

$n(A\cap B)=4C1\times 3C1\times 2^2=4\times 3\times 4=48$

step5. 확률 계산

---(확률의 덧셈정리 이용)

$n(A\cup B)=108+108-48=168$

$\therefore P=168/256=21/32$

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