고3 수학/(2025학년도) 2024년 6월 모평 고3 수학 확률과통계

2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 19. 11:36
수학여정 - 문제 분석 리포트

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2024년 6월 모평 (고3) 수학 "확률과 통계" 30번
문제의 분류 고등학교 (경우의 수/함수의 개수)
난이도 상

🔍 이해용 풀이

문제
집합 X={−2,−1,0,1,2}에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 f:X→X의 개수를 구하시오. (가) X의 모든 원소 x에 대하여 x+f(x)∈X이다. (나) x=−2,−1,0,1일 때 f(x)≥f(x+1)이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 정의역과 공역의 조건, 그리고 함숫값들의 대소 관계 조건을 동시에 만족하는 함수의 개수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 집합 X = {-2, -1, 0, 1, 2}
- 함수 f: X -> X
- (가)모든x∈X에대하여x+f(x)∈X
- (나)x=−2,−1,0,1일때f(x)≥f(x+1)

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건 (가)를 통해 각 원소의 함숫값이 가질 수 있는 범위를 구하고, 조건 (나)의 대소 관계를 만족하는 경우의 수를 기준을 나누어 세는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 f(−2),f(−1),f(0),f(1),f(2)가 가질 수 있는 값의 범위를 각각 구합니다.

step2. 조건 (나)를 통해 함숫값들 사이의 대소 관계를 파악합니다.

step3. f(0)의 값을 기준으로 경우를 나누어, 각 경우마다 가능한 (f(−2),f(−1))의 순서쌍 개수와 (f(1),f(2))의 순서쌍 개수를 구합니다.

step4. 각 경우의 수를 모두 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 경우의 수의 합의 법칙과 곱의 법칙: 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때 각 사건의 경우의 수를 더하고, 두 사건이 연달아 일어날 때 각 사건의 경우의 수를 곱합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조건 (가)를 통해 각 x에 대한 f(x)의 범위를 먼저 좁히고, 조건 (나)의 대소 관계를 만족하도록 f(0)을 기준으로 경우를 나누는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 각 함숫값의 범위 구하기

조건 (가)에서 X의 모든 원소 x에 대하여 x+f(x)∈X입니다. X={−2,−1,0,1,2}이므로 각 x에 대해 f(x)의 범위를 구해보겠습니다.

- x=−2일 때: −2+f(−2)∈{−2,−1,0,1,2} ⇒ f(−2)∈{0,1,2,3,4}

그런데 f(−2)∈X이어야 하므로 f(−2)∈{0,1,2}입니다.

- x=−1일 때: −1+f(−1)∈{−2,−1,0,1,2} ⇒ f(−1)∈{−1,0,1,2,3}

f(−1)∈X이므로 f(−1)∈{−1,0,1,2}입니다.

- x=0일 때: 0+f(0)∈{−2,−1,0,1,2} ⇒ f(0)∈{−2,−1,0,1,2}입니다.

- x=1일 때: 1+f(1)∈{−2,−1,0,1,2} ⇒ f(1)∈{−3,−2,−1,0,1}

f(1)∈X이므로 f(1)∈{−2,−1,0,1}입니다.

- x=2일 때: 2+f(2)∈{−2,−1,0,1,2} ⇒ f(2)∈{−4,−3,−2,−1,0}

f(2)∈X이므로 f(2)∈{−2,−1,0}입니다.

step2. 조건 (나)를 통한 대소 관계 파악

조건 (나)에서 x=−2,−1,0,1일 때 f(x)≥f(x+1)이므로,

f(−2)≥f(−1)≥f(0)≥f(1)≥f(2)가 성립해야 합니다.

step3. f(0)의 값을 기준으로 경우 나누기

f(0)을 기준으로 앞부분 (f(−2),f(−1))과 뒷부분 (f(1),f(2))의 경우의 수를 각각 구하여 곱합니다.

Case 1: f(0)=2일 때

- 앞부분: f(−2)≥f(−1)≥2를 만족해야 합니다.

f(−2)∈{0,1,2}, f(−1)∈{−1,0,1,2}이므로 가능한 순서쌍은 (2,2)로 1가지입니다.

- 뒷부분: 2≥f(1)≥f(2)를 만족해야 합니다.

f(1)∈{−2,−1,0,1}, f(2)∈{−2,−1,0}입니다.

f(1)=1일 때 f(2)∈{0,−1,−2} (3가지)

f(1)=0일 때 f(2)∈{0,−1,−2} (3가지)

f(1)=−1일 때 f(2)∈{−1,−2} (2가지)

f(1)=−2일 때 f(2)∈{−2} (1가지)

총 3+3+2+1=9가지입니다.

- 따라서 Case 1의 경우의 수는 1×9=9가지입니다.

Case 2: f(0)=1일 때

- 앞부분: f(−2)≥f(−1)≥1을 만족해야 합니다.

f(−2)=2일 때 f(−1)∈{2,1} (2가지)

f(−2)=1일 때 f(−1)∈{1} (1가지)

총 3가지입니다.

- 뒷부분: 1≥f(1)≥f(2)를 만족해야 합니다.

이는 Case 1의 뒷부분 조건과 동일하므로 9가지입니다.

- 따라서 Case 2의 경우의 수는 3×9=27가지입니다.

Case 3: f(0)=0일 때

- 앞부분: f(−2)≥f(−1)≥0을 만족해야 합니다.

f(−2)=2일 때 f(−1)∈{2,1,0} (3가지)

f(−2)=1일 때 f(−1)∈{1,0} (2가지)

f(−2)=0일 때 f(−1)∈{0} (1가지)

총 6가지입니다.

- 뒷부분: 0≥f(1)≥f(2)를 만족해야 합니다.

f(1)=0일 때 f(2)∈{0,−1,−2} (3가지)

f(1)=−1일 때 f(2)∈{−1,−2} (2가지)

f(1)=−2일 때 f(2)∈{−2} (1가지)

총 6가지입니다.

- 따라서 Case 3의 경우의 수는 6×6=36가지입니다.

Case 4: f(0)=−1일 때

- 앞부분: f(−2)≥f(−1)≥−1을 만족해야 합니다.

f(−2)=2일 때 f(−1)∈{2,1,0,−1} (4가지)

f(−2)=1일 때 f(−1)∈{1,0,−1} (3가지)

f(−2)=0일 때 f(−1)∈{0,−1} (2가지)

총 9가지입니다.

[함정경고] f(−2)가 가질 수 있는 값은 0,1,2뿐이므로 f(−2)=−1인 경우는 불가능함에 주의해야 합니다.

- 뒷부분: −1≥f(1)≥f(2)를 만족해야 합니다.

f(1)=−1일 때 f(2)∈{−1,−2} (2가지)

f(1)=−2일 때 f(2)∈{−2} (1가지)

총 3가지입니다.

- 따라서 Case 4의 경우의 수는 9×3=27가지입니다.

Case 5: f(0)=−2일 때

- 앞부분: f(−2)≥f(−1)≥−2를 만족해야 합니다.

이는 Case 4의 앞부분 조건과 동일하게 f(−1)이 가질 수 있는 최솟값이 −1이므로 9가지입니다.

- 뒷부분: −2≥f(1)≥f(2)를 만족해야 합니다.

f(1)=−2일 때 f(2)∈{−2} (1가지)

총 1가지입니다.

- 따라서 Case 5의 경우의 수는 9×1=9가지입니다.

step4. 최종 정답 도출

모든 경우의 수를 더하면 9+27+36+27+9=108가지입니다.

[정답] 108

⚡ 실전용 풀이

step1. f(x)의 범위 구하기

−2+f(−2)∈X⇒f(−2)∈0,1,2

−1+f(−1)∈X⇒f(−1)∈−1,0,1,2

0+f(0)∈X⇒f(0)∈−2,−1,0,1,2

1+f(1)∈X⇒f(1)∈−2,−1,0,1

2+f(2)∈X⇒f(2)∈−2,−1,0

step2. 대소 관계

f(−2)≥f(−1)≥f(0)≥f(1)≥f(2)

step3. f(0) 기준 분류

① f(0)=2: (f(-2),f(-1)) 1가지, (f(1),f(2)) 9가지 ⇒ 9

② f(0)=1: (f(-2),f(-1)) 3가지, (f(1),f(2)) 9가지 ⇒ 27

③ f(0)=0: (f(-2),f(-1)) 6가지, (f(1),f(2)) 6가지 ⇒ 36

④ f(0)=-1: (f(-2),f(-1)) 9가지, (f(1),f(2)) 3가지 ⇒ 27

⑤ f(0)=-2: (f(-2),f(-1)) 9가지, (f(1),f(2)) 1가지 ⇒ 9

step4. 총합

9 + 27 + 36 + 27 + 9 = 108

∴108

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