2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 9번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 9번
문제의 분류	고등학교 (연립이차방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

연립방정식 $\{\begin{array}{c}x-y=3\hfill \\ 2x^2+y^2=6\hfill \end{array}$ 의 해를 $x=\alpha$, $y=\beta$라 할 때, $\alpha +\beta$의 값은? [3점] ① -2 ② -1 ③ 0 ④ 1 ⑤ 2

1. 문제의 요지

이 문제는 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립방정식을 대입법을 이용하여 풀 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- x - y = 3
- 2x² + y² = 6
- $해는x=\alpha ,y=\beta$

3. 풀이의 순서

이 문제는 일차방정식을 한 문자에 대해 정리한 후 이차방정식에 대입하여 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리합니다.

step2. 정리한 식을 이차방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식을 만듭니다.

step3. 이차방정식을 풀어 해를 구하고, 나머지 문자의 값도 구합니다.

step4. 구한 해를 이용하여 $\alpha +\beta$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 대입법: 연립방정식에서 한 방정식을 한 문자에 관하여 푼 다음, 그것을 다른 방정식에 대입하여 미지수의 개수를 줄여서 푸는 방법입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립방정식은 일차방정식을 한 문자에 대해 정리한 후 이차방정식에 대입하여 미지수를 하나로 줄이는 것이 핵심입니다.

step1. 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리합니다.

주어진 일차방정식 $x-y=3$에서 $y$를 우변으로, $3$을 좌변으로 이항하여 $y$에 대해 정리합니다.

$y=x-3$ $\cdots$ (1)

step2. 정리한 식을 이차방정식에 대입하여 한 문자에 대한 이차방정식을 만듭니다.

식 (1)을 이차방정식 $2x^2+y^2=6$에 대입합니다.

$2x^2+(x-3{)}^2=6$

step3. 이차방정식을 풀어 해를 구하고, 나머지 문자의 값도 구합니다.

괄호를 전개하여 식을 정리합니다.

$2x^2+(x^2-6x+9)=6$

$3x^2-6x+9=6$

우변의 $6$을 좌변으로 이항합니다.

$3x^2-6x+3=0$

양변을 $3$으로 나눕니다.

$x^2-2x+1=0$

완전제곱식으로 인수분해합니다.

$(x-1{)}^2=0$

따라서 $x=1$입니다.

[함정경고] 여기서 구한 $x$의 값을 정답으로 착각하기 쉽습니다. 문제에서 요구하는 것은 $x$와 $y$의 합이므로 반드시 $y$의 값도 구해야 합니다.

구한 $x=1$을 식 (1)에 대입하여 $y$의 값을 구합니다.

$y=1-3=-2$

step4. 구한 해를 이용하여 $\alpha +\beta$의 값을 계산합니다.

연립방정식의 해가 $x=1,y=-2$이므로, $\alpha =1,\beta =-2$입니다.

따라서 $\alpha +\beta =1+(-2)=-1$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 일차식 정리

$x-y=3⟹y=x-3$

step2. 이차식에 대입

$2x^2+(x-3{)}^2=6$

step3. 이차방정식 풀이

$2x^2+x^2-6x+9=6$

$3x^2-6x+3=0$

$x^2-2x+1=0$

$(x-1{)}^2=0$

$\therefore x=1$

$y=1-3=-2$

step4. 정답 도출

$\alpha =1,\beta =-2$

$\therefore \alpha +\beta =1-2=-1$

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