2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 13번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 13번
문제의 분류	고등학교 (이차방정식과 이차함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

이차방정식 $x^2-7x+5=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하자. 최고차항의 계수가 1인 이차다항식 $P(x)$에 대하여 $P(\alpha )=5\alpha -2$, $P(\beta )=5\beta -2$ 일 때, $P(5)$의 값은? [3점] ① 15 ② 18 ③ 21 ④ 24 ⑤ 27

1. 문제의 요지

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계 및 다항식의 인수정리를 이용하여 새로운 이차다항식을 구성하고 특정 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차방정식 $x^2-7x+5=0$의 두 근은 $\alpha$, $\beta$이다.
- 이차다항식 $P(x)$의 최고차항의 계수는 1이다.
- $P(\alpha )=5\alpha -2$
- $P(\beta )=5\beta -2$

3. 풀이의 순서

이 문제는 인수정리를 활용하여 새로운 다항식을 구성하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 조건 $P(\alpha )=5\alpha -2$, $P(\beta )=5\beta -2$를 이용하여 새로운 다항식 $Q(x)$를 정의합니다.

step2. $Q(x)$의 근이 $\alpha$, $\beta$임을 이용하여 $Q(x)$의 식을 세웁니다.

step3. 이차방정식의 근과 계수의 관계(또는 인수분해 형태)를 이용하여 $Q(x)$를 구체적으로 구합니다.

step4. $Q(x)$를 통해 $P(x)$를 구하고, $P(5)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 인수정리: 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(a)=0$이면 $f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 가진다.

- 이차방정식의 작성: 두 수 $\alpha$, $\beta$를 근으로 하고 최고차항의 계수가 1인 이차방정식은 $(x-\alpha )(x-\beta )=0$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] $P(\alpha )=5\alpha -2$, $P(\beta )=5\beta -2$라는 형태를 보고, $P(x)-(5x-2)=0$ 이라는 새로운 방정식의 두 근이 $\alpha$, $\beta$임을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 새로운 다항식 정의하기

주어진 조건 $P(\alpha )=5\alpha -2$, $P(\beta )=5\beta -2$를 이항하면 다음과 같습니다.

$P(\alpha )-5\alpha +2=0$

$P(\beta )-5\beta +2=0$

여기서 새로운 다항식 $Q(x)=P(x)-5x+2$ 를 정의해 봅시다.

$P(x)$가 최고차항의 계수가 1인 이차다항식이므로, 일차식을 뺀 $Q(x)$ 역시 최고차항의 계수가 1인 이차다항식입니다.

step2. $Q(x)$의 식 세우기

위에서 확인했듯이 $Q(\alpha )=0$, $Q(\beta )=0$ 입니다.

인수정리에 의해 $Q(x)$는 $(x-\alpha )$와 $(x-\beta )$를 인수로 가집니다.

최고차항의 계수가 1이므로, $Q(x)=(x-\alpha )(x-\beta )$ 로 쓸 수 있습니다.

step3. $Q(x)$ 구하기

문제에서 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x^2-7x+5=0$의 두 근이라고 했습니다.

따라서 $(x-\alpha )(x-\beta )=x^2-7x+5$ 가 성립합니다.

즉, $Q(x)=x^2-7x+5$ 입니다.

step4. $P(x)$ 구하고 $P(5)$ 계산하기

$Q(x)=P(x)-5x+2$ 이므로,

$P(x)-5x+2=x^2-7x+5$ 가 됩니다.

이를 정리하여 $P(x)$를 구하면,

$P(x)=x^2-7x+5+5x-2$

$P(x)=x^2-2x+3$

[함정경고] 여기서 $P(x)$를 구한 후 계산 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다. 특히 부호에 유의하세요.

이제 구하고자 하는 $P(5)$의 값을 계산합니다.

$P(5)=5^2-2\times 5+3$

$P(5)=25-10+3=18$

따라서 정답은 18입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 새로운 다항식 정의

$P(\alpha )-5\alpha +2=0$, $P(\beta )-5\beta +2=0$

$Q(x)=P(x)-5x+2$ 라 하면 $Q(\alpha )=0,Q(\beta )=0$

step2. , 3. Q(x) 식 세우기

$Q(x)=(x-\alpha )(x-\beta )$   --- (최고차항 계수가 1이므로)

$Q(x)=x^2-7x+5$   --- ($\alpha ,\beta$가 $x^2-7x+5=0$의 근이므로)

step4. P(x) 구하기 및 대입

$P(x)-5x+2=x^2-7x+5$

$P(x)=x^2-2x+3$

$P(5)=25-10+3=18$

$\therefore 18$

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