2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 15번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 15번
문제의 분류	고등학교 (복소수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

15. 복소수 $z=1-i$에 대하여 ${(\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}})}^n=(z-1)i$ 를 만족시키는 50 이하의 자연수 $n$의 개수는? (단, $i=\sqrt{-1}$ 이고, $\bar{z}$는 $z$의 켤레복소수이다.) [4점] ① 11 ② 12 ③ 13 ④ 14 ⑤ 15

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 복소수 $z$를 이용하여 식의 좌변과 우변을 각각 간단히 정리한 후, 복소수의 거듭제곱의 주기성을 이용하여 조건을 만족하는 자연수 $n$의 개수를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $z=1-i$
- ${(\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}})}^n=(z-1)i$
- $n$은 50 이하의 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 복소수의 연산과 거듭제곱의 주기성을 이용하여 방정식을 만족하는 $n$의 개수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 복소수 $z$를 이용하여 좌변의 괄호 안의 식을 간단히 정리합니다.

step2. 주어진 복소수 $z$를 이용하여 우변의 식을 간단히 정리합니다.

step3. 정리된 좌변과 우변을 등식으로 놓고, 복소수 $i$의 거듭제곱 성질을 이용하여 조건을 만족하는 $n$의 형태를 찾습니다.

step4. 50 이하의 자연수 중 조건을 만족하는 $n$의 개수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 켤레복소수: 복소수 $z=a+bi$ (단, $a,b$는 실수)에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $\bar{z}=a-bi$를 $z$의 켤레복소수라 한다.

- 복소수의 사칙연산: $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$, $i^2=-1$

- 허수단위 $i$의 거듭제곱: $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$이며, 주기가 4이다. 즉, 자연수 $k$에 대하여 $i^{4k}=1$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복소수가 포함된 복잡한 식은 좌변과 우변을 각각 간단히 정리한 후 비교하는 것이 핵심입니다. 특히 분모에 복소수가 있는 경우 통분이나 실수화를 통해 식을 간단히 할 수 있습니다.

step1. 좌변의 괄호 안의 식 정리하기

주어진 복소수 $z=1-i$이므로, 그 켤레복소수는 $\bar{z}=1+i$입니다.

좌변의 괄호 안의 식을 통분하여 계산해 봅시다.

$\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}}=\frac{\bar{z}-z}{z\bar{z}}$

분모를 계산하면, $z\bar{z}=(1-i)(1+i)=1^2-i^2=1-(-1)=2$입니다.

분자를 계산하면, $\bar{z}-z=(1+i)-(1-i)=2i$입니다.

따라서 $\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}}=\frac{2i}{2}=i$가 됩니다.

그러므로 좌변의 식은 $i^n$으로 간단히 정리됩니다.

step2. 우변의 식 정리하기

우변의 식에 $z=1-i$를 대입하여 계산해 봅시다.

$(z-1)i=(1-i-1)i=(-i)i=-i^2$

$i^2=-1$이므로, $-i^2=-(-1)=1$이 됩니다.

따라서 우변의 식은 $1$로 간단히 정리됩니다.

step3. 조건을 만족하는 $n$의 형태 찾기

step1. 과 step2의 결과를 주어진 등식에 대입하면 다음과 같습니다.

$i^n=1$

[함정경고] $i^n=1$을 만족하는 $n$을 찾을 때, $i$의 거듭제곱의 주기가 4라는 사실을 잊지 않도록 주의해야 합니다.

$i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$이므로, $i^n=1$을 만족하는 자연수 $n$은 4의 배수이어야 합니다.

즉, $n=4k$ ($k$는 자연수) 형태로 나타낼 수 있습니다.

step4. 50 이하의 자연수 $n$의 개수 구하기

문제에서 $n$은 50 이하의 자연수라고 했으므로, $4k\le 50$을 만족하는 자연수 $k$의 개수를 구하면 됩니다.

$k\le \frac{50}{4}=12.5$

이를 만족하는 자연수 $k$는 1, 2, 3, ..., 12이므로 총 12개입니다.

따라서 조건을 만족하는 50 이하의 자연수 $n$의 개수는 12개입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 좌변 정리

$z=1-i,\bar{z}=1+i$

$\frac{1}{z}-\frac{1}{\bar{z}}=\frac{\bar{z}-z}{z\bar{z}}$

$=\frac{(1+i)-(1-i)}{(1-i)(1+i)}$

$=\frac{2i}{2}=i$

$\therefore$ 좌변 $=i^n$

step2. 우변 정리

$(z-1)i=(1-i-1)i$

$=-i^2=1$

step3. $n$의 조건

$i^n=1$

$n=4k$ ($k$는 자연수)   --- ($i$의 거듭제곱 주기가 4이므로)

step4. 개수 계산

$4k\le 50$

$k\le 12.5$

$k=1,2,\dots ,12$

$\therefore$ 12개

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