2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 19번

고1 수학/2025년 6월 학력평가 (고1) 수학

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 19번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 14. 10:46

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 19번
문제의 분류	고등학교 (복소수와 이차방정식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

이차다항식

P (x) = x^{2} - a x + 7 - a

에 대하여

\sqrt{P (1)} + \sqrt{- P (1)} - \sqrt{P (0) - 4}

의 값이 실수일 때, 모든

P (- 4)

의 값의 합은? (단,

a

는 실수이다.) [4점] ① 60 ② 64 ③ 68 ④ 72 ⑤ 76

1. 문제의 요지

이 문제는 복소수의 성질과 실수가 될 조건을 이용하여 미지수 $a$ 의 값을 구하고, 이를 통해 다항식의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

P (x) = x^{2} - a x + 7 - a

\sqrt{P (1)} + \sqrt{- P (1)} - \sqrt{P (0) - 4}

의 값이 실수
-

a

는 실수

3. 풀이의 순서

이 문제는 근호 안의 값의 부호에 따라 경우를 나누어 복소수의 상등 조건을 적용하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $P (1)$ 과 $P (0)$ 을 $a$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. $P (1)$ 의 부호에 따라 세 가지 경우( $P (1) > 0$ , $P (1) < 0$ , $P (1) = 0$ )로 나누어 주어진 식이 실수가 될 조건을 찾습니다.

step3. 각 경우에서 구한 $a$ 의 값을 이용하여 $P (- 4)$ 의 값을 계산합니다.

step4. 구한 모든 $P (- 4)$ 의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 복소수의 상등: 두 복소수 $a + b i$ 와 $c + d i$ ( $a, b, c, d$ 는 실수)가 같을 조건은 $a = c$ 이고 $b = d$ 이다. 특히, $a + b i$ 가 실수가 되려면 허수부분인 $b = 0$ 이어야 한다.

- 음수의 제곱근: $a > 0$ 일 때, $\sqrt{- a} = \sqrt{a} i$ 이다.

5. 구체적 풀이

주어진 식 $E = \sqrt{P (1)} + \sqrt{- P (1)} - \sqrt{P (0) - 4}$ 가 실수가 되기 위한 조건을 찾아봅시다.

[키포인트] 근호 안의 값이 음수이면 허수가 발생합니다. 주어진 식이 실수가 되려면 발생하는 허수부분들의 합이 0이 되어야 합니다. 따라서 $P (1)$ 의 부호에 따라 경우를 나누어 접근하는 것이 핵심입니다.

step1. $P (1)$ 과 $P (0)$ 을 $a$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

$P (x) = x^{2} - a x + 7 - a$ 이므로,

$P (1) = 1^{2} - a (1) + 7 - a = 8 - 2 a$

$P (0) = 0^{2} - a (0) + 7 - a = 7 - a$

따라서 $P (0) - 4 = 3 - a$ 입니다.

이를 주어진 식에 대입하면,

$E = \sqrt{8 - 2 a} + \sqrt{- (8 - 2 a)} - \sqrt{3 - a}$ 가 됩니다.

step2. $P (1)$ 의 부호에 따라 세 가지 경우로 나누어 주어진 식이 실수가 될 조건을 찾습니다.

경우 1: $P (1) > 0$ , 즉 $8 - 2 a > 0 ⟹ a < 4$ 인 경우

$8 - 2 a$ 는 양수이므로 $\sqrt{8 - 2 a}$ 는 실수입니다.

$- (8 - 2 a)$ 는 음수이므로 $\sqrt{- (8 - 2 a)} = \sqrt{8 - 2 a} i$ 로 순허수입니다.

$E = \sqrt{8 - 2 a} + \sqrt{8 - 2 a} i - \sqrt{3 - a}$

이 값이 실수가 되려면 허수부분이 상쇄되어야 합니다.

따라서 $\sqrt{3 - a}$ 에서 허수부분이 나와야 하므로 $3 - a < 0$ , 즉 $a > 3$ 이어야 합니다.

이때 $\sqrt{3 - a} = \sqrt{- (3 - a)} i = \sqrt{a - 3} i$ 가 됩니다.

$E = \sqrt{8 - 2 a} + (\sqrt{8 - 2 a} - \sqrt{a - 3}) i$

$E$ 가 실수가 되려면 허수부분이 0이어야 하므로,

$\sqrt{8 - 2 a} = \sqrt{a - 3}$

양변을 제곱하면 $8 - 2 a = a - 3$

$3 a = 11 ⟹ a = \frac{11}{3}$

이 값은 $3 < a < 4$ 조건을 만족합니다.

경우 2: $P (1) < 0$ , 즉 $8 - 2 a < 0 ⟹ a > 4$ 인 경우

$8 - 2 a$ 는 음수이므로 $\sqrt{8 - 2 a} = \sqrt{- (8 - 2 a)} i = \sqrt{2 a - 8} i$ 로 순허수입니다.

$- (8 - 2 a)$ 는 양수이므로 $\sqrt{- (8 - 2 a)} = \sqrt{2 a - 8}$ 로 실수입니다.

$E = \sqrt{2 a - 8} i + \sqrt{2 a - 8} - \sqrt{3 - a}$

이 값이 실수가 되려면 허수부분이 상쇄되어야 합니다.

따라서 $\sqrt{3 - a}$ 에서 허수부분이 나와야 하므로 $3 - a < 0$ , 즉 $a > 3$ 이어야 합니다. (조건 $a > 4$ 에 의해 자동 만족)

이때 $\sqrt{3 - a} = \sqrt{a - 3} i$ 가 됩니다.

$E = \sqrt{2 a - 8} + (\sqrt{2 a - 8} - \sqrt{a - 3}) i$

$E$ 가 실수가 되려면 허수부분이 0이어야 하므로,

$\sqrt{2 a - 8} = \sqrt{a - 3}$

양변을 제곱하면 $2 a - 8 = a - 3$

$a = 5$

이 값은 $a > 4$ 조건을 만족합니다.

경우 3: $P (1) = 0$ , 즉 $8 - 2 a = 0 ⟹ a = 4$ 인 경우

$E = \sqrt{0} + \sqrt{0} - \sqrt{3 - 4} = - \sqrt{- 1} = - i$

이는 실수가 아니므로 조건에 맞지 않습니다.

step3. 각 경우에서 구한 $a$ 의 값을 이용하여 $P (- 4)$ 의 값을 계산합니다.

$a = \frac{11}{3}$ 일 때:

$P (x) = x^{2} - \frac{11}{3} x + 7 - \frac{11}{3} = x^{2} - \frac{11}{3} x + \frac{10}{3}$

$P (- 4) = (- 4)^{2} - \frac{11}{3} (- 4) + \frac{10}{3} = 16 + \frac{44}{3} + \frac{10}{3} = 16 + \frac{54}{3} = 16 + 18 = 34$

$a = 5$ 일 때:

$P (x) = x^{2} - 5 x + 7 - 5 = x^{2} - 5 x + 2$

$P (- 4) = (- 4)^{2} - 5 (- 4) + 2 = 16 + 20 + 2 = 38$

step4. 구한 모든 $P (- 4)$ 의 값을 더하여 최종 정답을 도출합니다.

모든 $P (- 4)$ 의 값의 합은 $34 + 38 = 72$ 입니다.

따라서 정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. $P (1)$ 과 $P (0)$ 계산

$P (1) = 1 - a + 7 - a = 8 - 2 a$

$P (0) = 7 - a$

$E = \sqrt{8 - 2 a} + \sqrt{- (8 - 2 a)} - \sqrt{3 - a}$

step2. 경우 나누기

(i) $8 - 2 a > 0 ⟹ a < 4$

$E = \sqrt{8 - 2 a} + \sqrt{8 - 2 a} i - \sqrt{3 - a}$

실수가 되려면 $\sqrt{3 - a}$ 가 허수여야 함 $⟹ a > 3$

$\sqrt{3 - a} = \sqrt{a - 3} i$

허수부 = 0 $⟹ \sqrt{8 - 2 a} = \sqrt{a - 3}$

$8 - 2 a = a - 3 ⟹ 3 a = 11 ⟹ a = \frac{11}{3}$

(ii) $8 - 2 a < 0 ⟹ a > 4$

$E = \sqrt{2 a - 8} i + \sqrt{2 a - 8} - \sqrt{3 - a}$

실수가 되려면 $\sqrt{3 - a}$ 가 허수여야 함 $⟹ a > 3$

$\sqrt{3 - a} = \sqrt{a - 3} i$

허수부 = 0 $⟹ \sqrt{2 a - 8} = \sqrt{a - 3}$

$2 a - 8 = a - 3 ⟹ a = 5$

(iii) $8 - 2 a = 0 ⟹ a = 4$

$E = - \sqrt{- 1} = - i$ --- 실수 아님

step3. $P (- 4)$ 계산

$a = \frac{11}{3}$ 일 때:

$P (x) = x^{2} - \frac{11}{3} x + \frac{10}{3}$

$P (- 4) = 16 + \frac{44}{3} + \frac{10}{3} = 16 + 18 = 34$

$a = 5$ 일 때:

$P (x) = x^{2} - 5 x + 2$

$P (- 4) = 16 + 20 + 2 = 38$

step4. 합 계산

$34 + 38 = 72$

$∴ 정 답 ④$

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