2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 20번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 20번
문제의 분류	고등학교 (연립이차부등식)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

20. $x$에 대한 연립부등식 $\{\begin{array}{c}a{x}^2+(a+b)x+a+b+1<0\hfill \\ (a+b)x^2+(a+b+1)x+a<0\hfill \end{array}$ 을 만족시키는 모든 $x$의 값의 범위가 $x<p$일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, $a,b,p$는 실수이다.) [4점] < 보 기> ㄱ. $a=-1$일 때, $p=-1$이다. ㄴ. $b>0$ ㄷ. $a^3\le -1$ ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 연립부등식의 해가 $x<p$ 형태가 되기 위한 조건을 분석하여 미정계수 $a,b$의 범위를 추론하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 연립부등식:
- (1) $a{x}^2+(a+b)x+a+b+1<0$
- (2) $(a+b)x^2+(a+b+1)x+a<0$
- 연립부등식의 해: $x<p$ ($p$는 실수)
- $a,b$는 실수

3. 풀이의 순서

이 문제는 연립부등식의 해가 특정한 형태가 되기 위한 조건을 분석하여 미정계수의 범위를 추론하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 연립부등식의 해가 $x<p$ 형태가 되기 위한 일반적인 조건을 파악합니다.

step2. 보기 ㄱ을 확인하기 위해 $a=-1$을 대입하고, 해가 $x<p$ 꼴이 되는 $b$의 값과 그때의 $p$를 구합니다.

step3. 보기 ㄴ을 확인하기 위해 두 부등식 중 적어도 하나가 일차부등식이 되어야 함을 이용해 $a=0$ 또는 $a+b=0$인 경우를 분석합니다.

step4. 보기 ㄷ을 확인하기 위해 ㄴ에서 구한 조건을 바탕으로 $a$의 범위를 구하고 $a^3$의 범위를 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차부등식의 해의 조건: 이차부등식의 해가 한쪽으로 열린 구간($x<p$ 또는 $x>p$)이 되려면 일차부등식이거나, 두 부등식의 교집합을 통해 한쪽 구간만 남아야 합니다.

- 연립부등식의 해: 두 개 이상의 부등식을 동시에 만족시키는 미지수의 값의 범위로, 각 부등식의 해의 교집합을 구합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 연립부등식의 해가 $x<p$와 같이 한쪽으로만 열린 구간이 되려면, 두 부등식 중 적어도 하나는 이차항이 소거되어 일차부등식이 되어야 한다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 연립부등식의 해가 $x<p$ 형태가 되기 위한 조건 파악

주어진 연립부등식이 모두 이차부등식이고 최고차항 계수가 양수라면 해는 사잇값($\alpha <x<\beta$) 형태가 포함되어 교집합이 $x<p$가 될 수 없습니다. 최고차항 계수가 음수라면 해는 양쪽으로 벌어지는 값($x<\alpha$ 또는 $x>\beta$)이 되어 교집합 역시 두 구간으로 나뉘게 됩니다.

따라서 해가 $x<p$ 형태가 되려면 두 부등식 중 적어도 하나는 일차부등식이 되어야 합니다.

step2. 보기 ㄱ 확인

$a=-1$일 때, 주어진 연립부등식은 다음과 같습니다.

(1) $-x^2+(b-1)x+b<0\Rightarrow x^2-(b-1)x-b>0\Rightarrow (x-b)(x+1)>0$

(2) $(b-1)x^2+bx-1<0$

(2)가 이차부등식일 때($b\ne 1$), 해는 사잇값이나 양쪽으로 벌어지는 값이 되어 (1)과의 교집합이 $x<p$ 형태가 될 수 없습니다.

따라서 (2)는 일차부등식이어야 하므로 이차항의 계수인 $b-1=0$, 즉 $b=1$이어야 합니다.

$b=1$을 대입하면,

(1) $(x-1)(x+1)>0\Rightarrow x<-1$ 또는 $x>1$

(2) $x-1<0\Rightarrow x<1$

두 해의 교집합을 구하면 $x<-1$이 되므로 $p=-1$입니다.

따라서 ㄱ은 참입니다.

step3. 보기 ㄴ 확인

연립부등식 중 적어도 하나가 일차부등식이 되려면 $a=0$ 또는 $a+b=0$이어야 합니다.

경우 1: $a=0$일 때

(1) $bx+b+1<0$

(2) $b{x}^2+(b+1)x<0\Rightarrow x(bx+b+1)<0$

- $b>0$이면 (1)에서 $x<-\frac{b+1}{b}$, (2)에서 $-\frac{b+1}{b}<x<0$이 되어 교집합이 없습니다.

- $b=0$이면 (1)에서 $1<0$이 되어 해가 없습니다.

- $b<0$이면 (1)에서 $x>-\frac{b+1}{b}$가 되어 교집합이 $x<p$ 형태가 될 수 없습니다.

따라서 $a=0$인 경우는 조건을 만족하지 않습니다.

경우 2: $a+b=0$일 때 ($b=-a$)

(1) $a{x}^2+1<0$

(2) $x+a<0\Rightarrow x<-a$

(1)에서 $a\ge 0$이면 $a{x}^2+1>0$이 되어 해가 없으므로 $a<0$이어야 합니다.

$a<0$이면 $b=-a>0$이 성립합니다.

따라서 ㄴ은 참입니다.

step4. 보기 ㄷ 확인

ㄴ에 의해 $a+b=0$이고 $a<0$입니다.

(1) $a{x}^2+1<0\Rightarrow x^2>-\frac{1}{a}$ ($a<0$이므로 $-\frac{1}{a}>0$)

해는 $x<-\sqrt{-\frac{1}{a}}$ 또는 $x>\sqrt{-\frac{1}{a}}$ 입니다.

(2)의 해는 $x<-a$ 입니다.

[함정경고] 두 해의 교집합을 구할 때, (2)의 해가 (1)의 해의 오른쪽 구간과 겹치면 해가 두 구간으로 나뉘게 되므로 이를 방지하는 조건을 세워야 합니다.

두 해의 교집합이 $x<p$ 형태가 되려면, (2)의 해인 $x<-a$가 (1)의 해의 오른쪽 구간인 $x>\sqrt{-\frac{1}{a}}$와 겹치지 않아야 합니다.

즉, $-a\le \sqrt{-\frac{1}{a}}$ 이어야 합니다.

$a<0$이므로 $-a>0$이고 $\sqrt{-\frac{1}{a}}>0$입니다. 양변이 모두 양수이므로 제곱하면,

$a^2\le -\frac{1}{a}$

$a<0$이므로 양변에 $a$를 곱하면 부등호 방향이 바뀌어 다음과 같이 됩니다.

$a^3\ge -1$

따라서 $a^3\le -1$은 거짓입니다.

결론적으로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 해의 조건 파악

해가 $x<p$ 꼴이 되려면 적어도 하나의 부등식은 일차부등식이어야 함.

step2. ㄱ 확인

$a=-1$ 대입:

(1) $x^2-(b-1)x-b>0\Rightarrow (x-b)(x+1)>0$

(2) $(b-1)x^2+bx-1<0$

(2)가 일차부등식이어야 하므로 $b-1=0\Rightarrow b=1$

$b=1$ 대입:

(1) $(x-1)(x+1)>0\Rightarrow x<-1$ 또는 $x>1$

(2) $x-1<0\Rightarrow x<1$

교집합: $x<-1\Rightarrow p=-1$   --- 참

step3. ㄴ 확인

$a=0$ 또는 $a+b=0$ 이어야 함.

$a=0$일 때:

(1) $bx+b+1<0$

(2) $x(bx+b+1)<0$

$b$의 부호에 관계없이 해가 없거나 $x<p$ 꼴이 안 됨.

$a+b=0$일 때 ($b=-a$):

(1) $a{x}^2+1<0$

(2) $x+a<0\Rightarrow x<-a$

(1)에서 해가 존재하려면 $a<0$ 이어야 함.

따라서 $b=-a>0$   --- 참

step4. ㄷ 확인

$a<0,b=-a$ 일 때:

(1) $x^2>-\frac{1}{a}\Rightarrow x<-\sqrt{-\frac{1}{a}}$ 또는 $x>\sqrt{-\frac{1}{a}}$

(2) $x<-a$

교집합이 $x<p$ 꼴이 되려면 (2)가 (1)의 오른쪽 구간과 안 겹쳐야 함.

$-a\le \sqrt{-\frac{1}{a}}$

양변 제곱: $a^2\le -\frac{1}{a}$

$a<0$이므로 양변에 $a$ 곱하면: $a^3\ge -1$   --- 거짓

$\therefore 정답②$

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