2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 25번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 25번
문제의 분류	고등학교 (복소수와 이차방정식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

25. $a$가 음수일 때, $\frac{\sqrt{-4a}}{\sqrt{a}\sqrt{-4}}-\frac{\sqrt{-32}\sqrt{4a}}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 음수의 제곱근의 성질을 이용하여 주어진 식을 간단히 할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $a<0$
- 구해야 할 식: $\frac{\sqrt{-4a}}{\sqrt{a}\sqrt{-4}}-\frac{\sqrt{-32}\sqrt{4a}}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 음수의 제곱근을 허수단위 $i$를 이용하여 양수의 제곱근으로 변환하여 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $a<0$임을 이용하여 근호 안의 음수를 $i$를 사용하여 양수로 바꿉니다.

step2. 첫 번째 항 $\frac{\sqrt{-4a}}{\sqrt{a}\sqrt{-4}}$를 간단히 합니다.

step3. 두 번째 항 $\frac{\sqrt{-32}\sqrt{4a}}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}$를 간단히 합니다.

step4. 두 항의 결과를 빼서 최종 답을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 음수의 제곱근: $a>0$일 때, $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$이다.

- 허수단위의 거듭제곱: $i^2=-1$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 근호 안에 문자가 포함되어 있고 그 문자의 부호가 주어졌을 때, 근호 안의 값이 음수이면 허수단위 $i$를 밖으로 빼내어 근호 안을 양수로 만든 후 계산하면 실수를 방지할 수 있습니다.

[함정경고] $\sqrt{a}\sqrt{b}$를 계산할 때, $a<0,b<0$인 경우 $-\sqrt{ab}$가 된다는 성질을 잊고 그냥 $\sqrt{ab}$로 계산하기 쉽습니다. $i$를 사용하여 계산하면 이러한 실수를 막을 수 있습니다.

step1. $a<0$이므로 $-a>0$입니다. 이를 이용하여 각 근호를 $i$를 사용하여 나타냅니다.

$\sqrt{a}=\sqrt{-a}i$

$\sqrt{-4}=\sqrt{4}i=2i$

$\sqrt{-4a}=\sqrt{4(-a)}=2\sqrt{-a}$ (여기서 $-4a>0$이므로 $i$가 나오지 않습니다.)

$\sqrt{-32}=\sqrt{32}i=4\sqrt{2}i$

$\sqrt{4a}=\sqrt{-4(-a)}=\sqrt{4(-a)}i=2\sqrt{-a}i$

$\sqrt{-a}$는 $-a>0$이므로 그대로 둡니다.

step2. 첫 번째 항을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{-4a}}{\sqrt{a}\sqrt{-4}}=\frac{2\sqrt{-a}}{\sqrt{-a}i\times 2i}$

분모를 계산하면 $\sqrt{-a}i\times 2i=2\sqrt{-a}{i}^2=-2\sqrt{-a}$ 입니다.

따라서 첫 번째 항은 $\frac{2\sqrt{-a}}{-2\sqrt{-a}}=-1$ 입니다.

step3. 두 번째 항을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{-32}\sqrt{4a}}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}=\frac{4\sqrt{2}i\times 2\sqrt{-a}i}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}$

분자를 계산하면 $4\sqrt{2}i\times 2\sqrt{-a}i=8\sqrt{2}\sqrt{-a}{i}^2=-8\sqrt{2}\sqrt{-a}$ 입니다.

따라서 두 번째 항은 $\frac{-8\sqrt{2}\sqrt{-a}}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}=-8$ 입니다.

step4. 전체 식의 값을 구합니다.

(첫 번째 항) - (두 번째 항) = $-1-(-8)=-1+8=7$ 입니다.

[정답] 7

⚡ 실전용 풀이

step1. 근호 안을 양수로 변환

$a<0⟹-a>0$

$\sqrt{a}=\sqrt{-a}i$

$\sqrt{-4}=2i$

$\sqrt{-4a}=2\sqrt{-a}$

$\sqrt{-32}=4\sqrt{2}i$

$\sqrt{4a}=2\sqrt{-a}i$

step2. 첫 번째 항 계산

$\frac{\sqrt{-4a}}{\sqrt{a}\sqrt{-4}}=\frac{2\sqrt{-a}}{\sqrt{-a}i·2i}=\frac{2\sqrt{-a}}{-2\sqrt{-a}}=-1$

step3. 두 번째 항 계산

$\frac{\sqrt{-32}\sqrt{4a}}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}=\frac{4\sqrt{2}i·2\sqrt{-a}i}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}=\frac{-8\sqrt{2}\sqrt{-a}}{\sqrt{2}\sqrt{-a}}=-8$

step4. 최종 계산

-1 - (-8) = 7

$\therefore 7$

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