2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 27번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 27번
문제의 분류	고등학교 (이차함수의 최대최소)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

두 자연수 $a,b$에 대하여 $-2\le x\le 2$에서 이차함수 $f(x)=(x-a{)}^2+2b$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. $M\le 36$이고 $m\ge 5$를 만족시키는 모든 순서쌍 $(a,b)$의 개수를 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하고, 주어진 부등식 조건을 만족하는 자연수 순서쌍의 개수를 세는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- a, b는 자연수
- $-2\le x\le 2$
- f(x) = (x-a)² + 2b
- $최댓값M\le 36$
- $최솟값m\ge 5$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수의 대칭축의 위치에 따라 경우를 나누어 최댓값과 최솟값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차함수의 대칭축 $x=a$의 위치에 따라 범위를 나눕니다. $a$가 자연수이므로 $1\le a\le 2$인 경우와 $a\ge 3$인 경우로 나눕니다.

step2. $1\le a\le 2$인 경우, 최솟값과 최댓값을 구하고 주어진 부등식을 만족하는 $b$의 개수를 찾습니다.

step3. $a\ge 3$인 경우, 최솟값과 최댓값을 구하고 주어진 부등식을 만족하는 $b$의 개수를 찾습니다.

step4. 각 경우에서 구한 순서쌍의 개수를 모두 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차함수의 최대최소: 제한된 범위에서 이차함수의 최댓값과 최솟값은 대칭축이 범위 내에 있는지 여부에 따라 결정됩니다. 대칭축이 범위 내에 있으면 꼭짓점에서 최솟값(또는 최댓값)을 가지고, 범위의 양 끝점 중 대칭축에서 더 먼 곳에서 최댓값(또는 최솟값)을 가집니다.

5. 구체적 풀이

이차함수 $f(x)=(x-a{)}^2+2b$의 그래프는 아래로 볼록하며, 대칭축은 $x=a$입니다.

문제에서 $a$는 자연수라고 했으므로 $a\ge 1$입니다.

제한된 범위는 $-2\le x\le 2$입니다.

[키포인트] 제한된 범위에서 이차함수의 최대, 최소를 구할 때는 대칭축이 주어진 범위 안에 포함되는지 여부를 확인하는 것이 가장 중요합니다.

step1. 대칭축 $x=a$가 범위 안에 있는 경우 ($1\le a\le 2$)

$a$는 자연수이므로 $a=1$ 또는 $a=2$입니다.

이 경우, $x=a$에서 최솟값을 가집니다.

$m=f(a)=2b$

최댓값은 대칭축 $x=a$에서 더 멀리 떨어진 $x=-2$에서 가집니다. (범위의 끝점인 $2$와 $-2$ 중, $a\ge 1$이므로 $-2$가 더 멉니다.)

$M=f(-2)=(-2-a{)}^2+2b=(a+2{)}^2+2b$

조건에 따라 $m\ge 5$ 이고 $M\le 36$ 이어야 합니다.

$2b\ge 5$ 에서 $b\ge 2.5$ 이므로 자연수 $b\ge 3$ 입니다.

① $a=1$ 일 때:

$M=(1+2{)}^2+2b=9+2b\le 36$

$2b\le 27⟹b\le 13.5$

따라서 $3\le b\le 13$ 이므로 만족하는 자연수 $b$는 $3,4,\dots ,13$ 으로 총 $11$개입니다.

② $a=2$ 일 때:

$M=(2+2{)}^2+2b=16+2b\le 36$

$2b\le 20⟹b\le 10$

따라서 $3\le b\le 10$ 이므로 만족하는 자연수 $b$는 $3,4,\dots ,10$ 으로 총 $8$개입니다.

step2. 대칭축 $x=a$가 범위의 오른쪽에 있는 경우 ($a\ge 3$)

이 경우, $-2\le x\le 2$ 범위에서 함수 $f(x)$는 감소합니다.

따라서 $x=2$에서 최솟값을, $x=-2$에서 최댓값을 가집니다.

$m=f(2)=(2-a{)}^2+2b=(a-2{)}^2+2b$

$M=f(-2)=(-2-a{)}^2+2b=(a+2{)}^2+2b$

조건에 따라 $m\ge 5$ 이고 $M\le 36$ 이어야 합니다.

③ $a=3$ 일 때:

$m=(3-2{)}^2+2b=1+2b\ge 5⟹2b\ge 4⟹b\ge 2$

$M=(3+2{)}^2+2b=25+2b\le 36⟹2b\le 11⟹b\le 5.5$

따라서 $2\le b\le 5$ 이므로 만족하는 자연수 $b$는 $2,3,4,5$ 로 총 $4$개입니다.

④ $a=4$ 일 때:

$M=(4+2{)}^2+2b=36+2b\le 36⟹2b\le 0⟹b\le 0$

$b$는 자연수이므로 이를 만족하는 $b$는 없습니다.

[함정경고] $a$가 커질수록 최댓값 $M$이 급격히 증가하므로, $a\ge 4$인 경우에는 더 이상 조건을 만족하는 자연수 $b$가 존재하지 않음을 놓치기 쉽습니다.

$a\ge 5$ 일 때도 $M=(a+2{)}^2+2b>36$ 이 되어 만족하는 자연수 $b$는 없습니다.

step3. 정답 도출

모든 경우의 수를 더하면 $11+8+4=23$개입니다.

[정답] 23

⚡ 실전용 풀이

step1. a=1, 2 일 때

$m=2b\ge 5⟹b\ge 3$

$M=(a+2{)}^2+2b\le 36$

$a=1:9+2b\le 36⟹2b\le 27⟹b\le 13.5$

$3\le b\le 13$   --- 11개

$a=2:16+2b\le 36⟹2b\le 20⟹b\le 10$

$3\le b\le 10$   --- 8개

$(step2.a\ge 3일때)$

$m=(a-2{)}^2+2b\ge 5$

$M=(a+2{)}^2+2b\le 36$

$a=3:m=1+2b\ge 5⟹b\ge 2$

$M=25+2b\le 36⟹2b\le 11⟹b\le 5.5$

$2\le b\le 5$   --- 4개

$a=4:M=36+2b\le 36⟹2b\le 0$   --- 불가

step3. 정답 도출

$\therefore 11+8+4=23$

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