고1 수학/2025년 6월 학력평가 (고1) 수학

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 28번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 14. 10:42
수학여정 - 문제 분석 리포트

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2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 28번
문제의 분류 고등학교 (다항식의 연산과 나머지정리)
난이도 중상

🔍 이해용 풀이

문제
최고차항의 계수가 1인 이차다항식 P(x)에 대하여 P(x)2을 x2−4x−5로 나눈 몫은 Q(x)이고 나머지는 36이다. P(0)≠P(4) 일 때, 모든 Q(−1)의 값의 합을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 나머지정리와 다항식의 나눗셈 항등식을 이용하여 조건을 만족하는 이차다항식 P(x)를 구하고, 이를 통해 몫 Q(x)의 특정 값을 계산하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- P(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차다항식
- P(x)2=(x2−4x−5)Q(x)+36
- P(0)≠P(4)

3. 풀이의 순서

이 문제는 나머지정리를 이용하여 다항식의 값을 구하고, 조건을 만족하는 다항식을 특정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 나눗셈 관계를 항등식으로 나타내고, 인수분해를 통해 P(5)와 P(−1)의 가능한 값을 구합니다.

step2. P(5)와 P(−1)의 값에 따라 4가지 경우로 나누어 이차다항식 P(x)를 구합니다.

step3. 각 경우에 대해 조건 P(0)≠P(4)를 만족하는지 확인하여 올바른 P(x)를 선별합니다.

step4. 선별된 P(x)를 이용하여 Q(x)를 구하고, Q(−1)의 값을 계산하여 그 합을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 나머지정리: 다항식 f(x)를 일차식 x−a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)와 같다는 성질입니다.

- 항등식의 성질: 항등식에서는 양변에 어떤 값을 대입해도 항상 성립함을 이용합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 다항식의 나눗셈을 항등식으로 표현하고, 나누는 식 x2−4x−5가 (x−5)(x+1)로 인수분해됨을 이용하여 x=5와 x=−1을 대입하는 것이 문제 해결의 핵심입니다.

step1. 주어진 나눗셈 관계를 항등식으로 나타냅니다.

P(x)2=(x2−4x−5)Q(x)+36

이 식을 정리하면 다음과 같습니다.

P(x)2−36=(x−5)(x+1)Q(x)

좌변을 합차공식으로 인수분해합니다.

(P(x)−6)(P(x)+6)=(x−5)(x+1)Q(x)

이 식은 항등식이므로 양변에 x=5와 x=−1을 대입하면 우변이 0이 됩니다.

x=5 대입: (P(5)−6)(P(5)+6)=0 이므로 P(5)=6 또는 P(5)=−6

x=−1 대입: (P(−1)−6)(P(−1)+6)=0 이므로 P(−1)=6 또는 P(−1)=−6

step2. P(x)는 최고차항의 계수가 1인 이차다항식이므로 P(x)=x2+ax+b로 둘 수 있습니다. P(5)와 P(−1)의 값에 따라 4가지 경우로 나누어 살펴봅니다.

[함정경고] P(5)와 P(−1)의 값이 각각 6 또는 -6이 될 수 있으므로, 반드시 4가지 경우를 모두 꼼꼼하게 확인해야 합니다. 일부 경우만 확인하면 정답을 놓칠 수 있습니다.

(경우 1) P(5)=6,P(−1)=6일 때

P(x)−6=0의 두 근이 5와 -1이므로, P(x)−6=(x−5)(x+1)=x2−4x−5가 됩니다.

따라서 P(x)=x2−4x+1입니다.

조건 P(0)≠P(4)를 확인해 보면, P(0)=1이고 P(4)=16−16+1=1이므로 P(0)=P(4)가 되어 조건에 위배됩니다.

(경우 2) P(5)=−6,P(−1)=−6일 때

P(x)+6=0의 두 근이 5와 -1이므로, P(x)+6=(x−5)(x+1)=x2−4x−5가 됩니다.

따라서 P(x)=x2−4x−11입니다.

조건을 확인해 보면, P(0)=−11이고 P(4)=16−16−11=−11이므로 P(0)=P(4)가 되어 조건에 위배됩니다.

(경우 3) P(5)=6,P(−1)=−6일 때

P(5)=25+5a+b=6 ⇒ 5a+b=−19

P(−1)=1−a+b=−6 ⇒ −a+b=−7

두 식을 연립하여 풀면, 빼서 6a=−12 이므로 a=−2이고, b=−9입니다.

따라서 P(x)=x2−2x−9입니다.

조건을 확인해 보면, P(0)=−9이고 P(4)=16−8−9=−1이므로 P(0)≠P(4)를 만족합니다.

(경우 4) P(5)=−6,P(−1)=6일 때

P(5)=25+5a+b=−6 ⇒ 5a+b=−31

P(−1)=1−a+b=6 ⇒ −a+b=5

두 식을 연립하여 풀면, 빼서 6a=−36 이므로 a=−6이고, b=−1입니다.

따라서 P(x)=x2−6x−1입니다.

조건을 확인해 보면, P(0)=−1이고 P(4)=16−24−1=−9이므로 P(0)≠P(4)를 만족합니다.

step3. 조건을 만족하는 (경우 3)과 (경우 4)에 대해 Q(x)를 구하고 Q(−1)을 계산합니다.

(경우 3) P(x)=x2−2x−9일 때

P(x)2−36=(x2−2x−9)2−36=(x2−2x−9−6)(x2−2x−9+6)

=(x2−2x−15)(x2−2x−3)=(x−5)(x+3)(x−3)(x+1)

이 식이 (x−5)(x+1)Q(x)와 같으므로,

Q(x)=(x+3)(x−3)=x2−9입니다.

따라서 Q(−1)=(−1)2−9=−8입니다.

(경우 4) P(x)=x2−6x−1일 때

P(x)2−36=(x2−6x−1)2−36=(x2−6x−1−6)(x2−6x−1+6)

=(x2−6x−7)(x2−6x+5)=(x−7)(x+1)(x−5)(x−1)

이 식이 (x−5)(x+1)Q(x)와 같으므로,

Q(x)=(x−7)(x−1)=x2−8x+7입니다.

따라서 Q(−1)=(−1−7)(−1−1)=(−8)×(−2)=16입니다.

step4. 모든 Q(−1)의 값의 합을 구합니다.

−8+16=8

따라서 구하는 합은 8입니다.

[정답] 8

⚡ 실전용 풀이

step1. 항등식 작성 및 조건 도출

P(x)2−36=(x−5)(x+1)Q(x)

(P(x)−6)(P(x)+6)=(x−5)(x+1)Q(x)

---(x=5, x=-1 대입)

P(5)=±6,P(−1)=±6

step2. P(x) 구하기 및 조건 확인

P(x)=x2+ax+b

1) P(5)=6,P(−1)=6⇒P(x)=x2−4x+1

---(P(0)=1, P(4)=1 이므로 모순)

2) P(5)=−6,P(−1)=−6⇒P(x)=x2−4x−11

---(P(0)=-11, P(4)=-11 이므로 모순)

3) P(5)=6,P(−1)=−6⇒5a+b=−19,−a+b=−7⇒a=−2,b=−9

P(x)=x2−2x−9

---(P(0)=-9, P(4)=-1 이므로 성립)

4) P(5)=−6,P(−1)=6⇒5a+b=−31,−a+b=5⇒a=−6,b=−1

P(x)=x2−6x−1

---(P(0)=-1, P(4)=-9 이므로 성립)

step3. Q(-1) 계산

3)의 경우:

(x2−2x−9)2−36=(x2−2x−15)(x2−2x−3)=(x−5)(x+3)(x−3)(x+1)

Q(x)=(x+3)(x−3)=x2−9

Q(−1)=−8

4)의 경우:

(x2−6x−1)2−36=(x2−6x−7)(x2−6x+5)=(x−7)(x+1)(x−5)(x−1)

Q(x)=(x−7)(x−1)=x2−8x+7

Q(−1)=(−8)(−2)=16

step4. 합계

-8 + 16 = 8

∴8

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