2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 29번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고1) 수학 29번
문제의 분류	고등학교 (복소수와 이차방정식, 삼차방정식의 근과 계수의 관계)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

29. $x$에 대한 삼차방정식 $(x-1)(x^2+ax+b)=0$의 서로 다른 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하자. $(2\alpha +2\beta -\gamma {)}^2=-81$ 일 때, $(4+\alpha )(4+\beta )(4+\gamma )$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 실수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 실계수 삼차방정식의 근의 성질(켤레복소수 근)과 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 삼차방정식 $(x-1)(x^2+ax+b)=0$의 서로 다른 세 근은 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$이다.
- $(2\alpha +2\beta -\gamma {)}^2=-81$
- $a$, $b$는 실수이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 실계수 방정식의 켤레근 성질을 이용하여 세 근을 특정하고, 다항식의 항등식 성질을 이용하여 식의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 식의 제곱이 음수임을 이용하여 세 근 중 허근이 존재함을 파악하고, 실계수 방정식의 성질에 따라 켤레복소수 근을 가짐을 확인합니다.

step2. 세 근 중 어느 것이 실수 1인지 경우를 나누어 모순이 없는 경우를 찾고, 복소수 상등 조건을 이용하여 허근을 구합니다.

step3. 구한 세 근을 바탕으로 삼차방정식을 완성하거나, 다항식의 항등식 성질을 이용하여 구하고자 하는 식의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 실계수 방정식의 켤레근 성질: 계수가 모두 실수인 다항방정식이 허근 $p+qi$를 가지면, 그 켤레복소수 $p-qi$도 반드시 근으로 가진다.

- 복소수 상등 조건: 두 복소수 $a+bi$와 $c+di$ ($a,b,c,d$는 실수)가 같을 조건은 $a=c$이고 $b=d$이다.

- 인수정리와 항등식: 다항식 $P(x)$가 세 근 $\alpha ,\beta ,\gamma$를 가질 때 최고차항 계수가 1이면 $P(x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$로 나타낼 수 있다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 실계수 방정식의 켤레근 성질을 이용하여 세 근을 특정하고, 다항식의 항등식 성질을 이용하여 식의 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

[키포인트] 어떤 수의 제곱이 음수(-81)가 나왔다는 것은 그 수가 순허수($\pm 9i$)임을 의미합니다. 이를 통해 방정식이 허근을 가짐을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 식의 제곱이 음수임을 이용하여 세 근 중 허근이 존재함을 파악하고, 실계수 방정식의 성질에 따라 켤레복소수 근을 가짐을 확인합니다.

삼차방정식 $(x-1)(x^2+ax+b)=0$의 한 근은 명확히 $x=1$입니다.

나머지 두 근은 이차방정식 $x^2+ax+b=0$의 근입니다.

조건에서 $(2\alpha +2\beta -\gamma {)}^2=-81$ 이 주어졌습니다.

제곱하여 음수가 되므로 $2\alpha +2\beta -\gamma$는 순허수 $\pm 9i$가 되어야 합니다.

따라서 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 중 적어도 하나는 허수입니다.

문제에서 $a,b$가 실수라고 했으므로, 실계수 방정식 $x^2+ax+b=0$이 허근을 가진다면 반드시 서로 켤레복소수인 두 허근을 가져야 합니다.

결과적으로 세 근 $\alpha ,\beta ,\gamma$는 실수 1과 서로 켤레복소수인 두 허근 $p+qi,p-qi$ (단, $p,q$는 실수, $q\ne 0$)로 이루어져 있습니다.

step2. 세 근 중 어느 것이 실수 1인지 경우를 나누어 모순이 없는 경우를 찾고, 복소수 상등 조건을 이용하여 허근을 구합니다.

[함정경고] $\gamma$가 실수 1이라고 섣불리 단정하면 안 됩니다. $\alpha ,\beta ,\gamma$ 중 어느 것이 1인지 경우를 나누어 확인해야 합니다.

경우 1: $\gamma =1$이고, $\alpha ,\beta$가 서로 켤레복소수인 허근일 때

$\alpha$와 $\beta$가 켤레복소수이므로 두 근의 합 $\alpha +\beta$는 실수입니다. (근과 계수의 관계에 의해 $\alpha +\beta =-a$)

$2\alpha +2\beta -\gamma =2(\alpha +\beta )-1=2(-a)-1=-2a-1$ 이 됩니다.

$a$가 실수이므로 $-2a-1$도 실수입니다.

실수의 제곱이 -81이 될 수 없으므로 이 경우는 모순입니다.

경우 2: $\alpha ,\beta$ 중 하나가 1이고, 나머지 하나와 $\gamma$가 서로 켤레복소수인 허근일 때

$\alpha$와 $\beta$는 주어진 식 $2\alpha +2\beta -\gamma$에서 계수가 같아 대칭적이므로, 일반성을 잃지 않고 $\alpha =1$이라 합시다.

그러면 $\beta$와 $\gamma$가 $x^2+ax+b=0$의 두 허근이 됩니다.

$\beta =p+qi$, $\gamma =p-qi$ 라 두겠습니다.

주어진 식에 대입하면:

$2\alpha +2\beta -\gamma =2(1)+2(p+qi)-(p-qi)=2+2p+2qi-p+qi=(p+2)+3qi$

이 값의 제곱이 -81이 되어야 하므로:

$((p+2)+3qi{)}^2=-81$

$(p+2{)}^2-9q^2+6q(p+2)i=-81$

복소수 상등 조건에 의해 실수부와 허수부를 비교합니다.

허수부: $6q(p+2)=0$

$q\ne 0$ (허근이므로) 이므로 $p+2=0$, 즉 $p=-2$ 입니다.

실수부: $(p+2{)}^2-9q^2=-81$

$p=-2$를 대입하면 $0-9q^2=-81⟹q^2=9⟹q=\pm 3$ 입니다.

따라서 두 허근은 $-2+3i$와 $-2-3i$입니다.

step3. 구한 세 근을 바탕으로 삼차방정식을 완성하거나, 다항식의 항등식 성질을 이용하여 구하고자 하는 식의 값을 계산합니다.

세 근이 $1,-2+3i,-2-3i$ 임을 알았습니다.

구하고자 하는 값은 $(4+\alpha )(4+\beta )(4+\gamma )$ 입니다.

세 근을 직접 대입하여 계산할 수도 있지만, 다항식의 성질을 이용하면 더 간단합니다.

삼차방정식의 좌변을 $P(x)$라 하면, $P(x)=(x-1)(x^2+ax+b)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$ 입니다.

이때 $x^2+ax+b=0$의 두 근이 $-2+3i,-2-3i$ 이므로,

두 근의 합: $-a=-4⟹a=4$

두 근의 곱: $b=(-2{)}^2+3^2=13$

따라서 $P(x)=(x-1)(x^2+4x+13)$ 입니다.

구하고자 하는 식 $(4+\alpha )(4+\beta )(4+\gamma )$는 $P(x)$에 $x=-4$를 대입한 형태와 관련이 있습니다.

$P(-4)=(-4-\alpha )(-4-\beta )(-4-\gamma )=-(4+\alpha )(4+\beta )(4+\gamma )$

한편, $P(-4)=(-4-1)((-4{)}^2+4(-4)+13)=(-5)(16-16+13)=-5\times 13=-65$ 입니다.

따라서 $-(4+\alpha )(4+\beta )(4+\gamma )=-65$ 이므로,

$(4+\alpha )(4+\beta )(4+\gamma )=65$ 입니다.

[정답] 65

⚡ 실전용 풀이

step1. 허근 존재 및 켤레근 파악

$(2\alpha +2\beta -\gamma {)}^2=-81$

$2\alpha +2\beta -\gamma =\pm 9i$

$\therefore$ 세 근 중 허근 존재. 실계수 방정식이므로 한 실근과 두 켤레허근을 가짐.

step2. 경우 나누기 및 근 구하기

(i) $\gamma =1$일 때

$\alpha ,\beta$는 켤레허근 $⟹\alpha +\beta$는 실수

$2(\alpha +\beta )-1=\pm 9i$   --- 좌변은 실수이므로 모순

   --- ii) $\alpha =1$일 때 ($\beta =1$일 때도 동일

$\beta =p+qi,\gamma =p-qi$   --- $p,q$는 실수, $q\ne 0$

$2(1)+2(p+qi)-(p-qi)=(p+2)+3qi=\pm 9i$

복소수 상등 조건에 의해:

$p+2=0⟹p=-2$

$3q=\pm 9⟹q=\pm 3$

$\therefore$ 세 근은 $1,-2+3i,-2-3i$

step3. 식의 값 계산

$x^2+ax+b=0$의 두 근이 $-2\pm 3i$이므로

$x^2+ax+b=(x-(-2+3i))(x-(-2-3i))=x^2+4x+13$

$P(x)=(x-1)(x^2+4x+13)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

$P(-4)=(-4-1)(16-16+13)=-65$

$P(-4)=(-4-\alpha )(-4-\beta )(-4-\gamma )=-(4+\alpha )(4+\beta )(4+\gamma )$

$\therefore (4+\alpha )(4+\beta )(4+\gamma )=65$

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