2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 11번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (지수함수)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

11. $x\le 3$에서 정의된 함수 $f(x)=2^{2x}-2^{x+2}+6$의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점] ① 32 ② 36 ③ 40 ④ 44 ⑤ 48

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 식을 치환하여 이차함수의 최대, 최소 문제로 변환하여 풀 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=2^{2x}-2^{x+2}+6$
- 정의역: $x\le 3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 공통부분을 치환하여 이차함수의 최대, 최소 문제로 바꾸어 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $2^x=t$로 치환하고, 주어진 $x$의 범위를 이용하여 $t$의 범위를 구합니다.

step2. 주어진 함수를 $t$에 대한 이차함수로 나타내고, 완전제곱꼴로 변형합니다.

step3. $t$의 범위 내에서 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 치환을 이용한 함수의 최대, 최소: 공통부분이 있는 함수의 경우, 공통부분을 새로운 문자로 치환하여 간단한 함수(예: 이차함수)로 변환한 후 최대, 최소를 구한다. 이때 반드시 치환한 문자의 범위를 새롭게 구해야 한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 지수함수 식에 $2^x$와 $2^{2x}$가 함께 있는 경우, $2^x=t$로 치환하여 이차함수 문제로 바꾸어 푸는 것이 핵심입니다.

step1. $2^x=t$로 치환하고 $t$의 범위를 구합니다.

주어진 $x$의 범위가 $x\le 3$이므로, 지수함수의 성질에 의해 $2^x\le 2^3$입니다.

또한, 지수함수의 값은 항상 양수이므로 $2^x>0$입니다.

따라서 $t$의 범위는 $0<t\le 8$이 됩니다.

[함정경고] 치환할 때 $t>0$이라는 조건을 놓치기 쉽습니다. 지수함수는 항상 양수값을 가짐을 기억하세요.

step2. 주어진 함수를 $t$에 대한 이차함수로 나타냅니다.

$f(x)=2^{2x}-2^{x+2}+6$

$=(2^x{)}^2-2^2·2^x+6$

$=t^2-4t+6$

이 식을 $t$에 대한 함수 $g(t)$라고 하면,

$g(t)=t^2-4t+6$

최대, 최소를 구하기 위해 완전제곱꼴로 변형합니다.

$g(t)=(t^2-4t+4)-4+6$

$=(t-2{)}^2+2$

step3. $t$의 범위 내에서 최댓값과 최솟값을 구합니다.

함수 $g(t)=(t-2{)}^2+2$의 그래프는 꼭짓점이 $(2,2)$이고 아래로 볼록한 포물선입니다.

$t$의 범위가 $0<t\le 8$이고, 꼭짓점의 $t$ 좌표인 $2$가 이 범위 안에 포함되므로,

$t=2$일 때 최솟값은 $2$입니다.

최댓값은 대칭축 $t=2$에서 가장 멀리 떨어진 $t=8$일 때 가집니다.

$t=8$을 대입하면,

$g(8)=(8-2{)}^2+2=36+2=38$

따라서 최댓값은 $38$입니다.

최댓값과 최솟값의 합은 $38+2=40$입니다.

따라서 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환 및 범위 설정

$2^x=t$ 로 치환

$x\le 3$ 이므로 $0<2^x\le 2^3$

$\therefore 0<t\le 8$

step2. 이차함수 변환

$f(x)=(2^x{)}^2-4·2^x+6$

$g(t)=t^2-4t+6$

$g(t)=(t-2{)}^2+2$

step3. 최대, 최소 계산

$0<t\le 8$ 에서 꼭짓점 $t=2$ 포함

최솟값: $g(2)=2$

최댓값: $t=8$ 일 때, $g(8)=(8-2{)}^2+2=38$

최댓값 + 최솟값 = $38+2=40$

$\therefore 40$

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