2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 12번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (사인법칙과 코사인법칙)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

12. $\overline{AB}:\overline{BC}=3:2$, $\angle ABC=\frac{\pi }{3}$인 삼각형 ABC가 있다. 삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 $7\pi$일 때, 삼각형 ABC의 넓이는? [3점] ① $\frac{9}{2}\sqrt{3}$ ② $\frac{19}{4}\sqrt{3}$ ③ $5\sqrt{3}$ ④ $\frac{21}{4}\sqrt{3}$ ⑤ $\frac{11}{2}\sqrt{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름으로부터 변의 길이를 구하고, 코사인법칙을 이용하여 나머지 변의 길이를 구한 뒤, 삼각형의 넓이 공식을 적용할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\overline{AB}:\overline{BC}=3:2$
- $\angle ABC=\frac{\pi }{3}$
- 삼각형 ABC의 외접원의 넓이 = $7\pi$

3. 풀이의 순서

이 문제는 외접원의 넓이에서 반지름을 구한 후, 사인법칙과 코사인법칙을 차례로 적용하여 변의 길이를 찾고 삼각형의 넓이를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 외접원의 넓이를 이용하여 외접원의 반지름 $R$을 구합니다.

step2. 사인법칙을 이용하여 변 $\overline{AC}$의 길이를 구합니다.

step3. 주어진 길이의 비를 이용하여 변 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$를 미지수 $k$로 표현하고, 코사인법칙을 적용하여 $k$의 값을 구합니다.

step4. 구한 변의 길이와 끼인각을 이용하여 삼각형 ABC의 넓이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 사인법칙: 삼각형 ABC에서 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$이 성립합니다.

- 코사인법칙: 삼각형 ABC에서 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$가 성립합니다.

- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이가 $a,b$이고 그 끼인각이 $C$일 때, 삼각형의 넓이 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$입니다.

5. 구체적 풀이

학생 여러분, 이 문제는 삼각형의 외접원과 관련된 조건이 주어졌을 때 사인법칙과 코사인법칙을 어떻게 활용하는지 묻는 전형적이고 중요한 문제입니다. 차근차근 풀어보겠습니다.

[키포인트] 외접원의 넓이가 주어졌으므로 반지름을 구할 수 있고, 각도가 주어졌으므로 사인법칙을 통해 마주보는 변의 길이를 구할 수 있습니다.

step1. 외접원의 넓이를 이용하여 외접원의 반지름 $R$을 구합니다.

삼각형 ABC의 외접원의 넓이가 $7\pi$라고 주어졌습니다.

외접원의 반지름을 $R$이라고 하면, 원의 넓이 공식에 의해 $\pi R^2=7\pi$가 됩니다.

양변을 $\pi$로 나누면 $R^2=7$이 되고, 반지름은 양수이므로 $R=\sqrt{7}$입니다.

step2. 사인법칙을 이용하여 변 $\overline{AC}$의 길이를 구합니다.

삼각형 ABC에서 $\angle ABC=\frac{\pi }{3}$이고, 외접원의 반지름 $R=\sqrt{7}$임을 알았습니다.

사인법칙 $\frac{\overline{AC}}{\sin (\angle ABC)}=2R$을 적용합니다.

$\frac{\overline{AC}}{\sin (\frac{\pi }{3})}=2\sqrt{7}$

$\sin (\frac{\pi }{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$이므로,

$\overline{AC}=2\sqrt{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{21}$이 됩니다.

step3. 주어진 길이의 비를 이용하여 변 $\overline{AB}$, $\overline{BC}$를 미지수 $k$로 표현하고, 코사인법칙을 적용하여 $k$의 값을 구합니다.

문제에서 $\overline{AB}:\overline{BC}=3:2$라고 주어졌습니다.

비례상수 $k$ ($k>0$)를 사용하여 $\overline{AB}=3k$, $\overline{BC}=2k$로 둘 수 있습니다.

이제 삼각형 ABC에서 세 변의 길이($3k,2k,\sqrt{21}$)와 한 각($\frac{\pi }{3}$)을 알고 있으므로 코사인법칙을 적용합니다.

${\overline{AC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2-2·\overline{AB}·\overline{BC}·\cos (\angle ABC)$

$(\sqrt{21}{)}^2=(3k{)}^2+(2k{)}^2-2(3k)(2k)\cos (\frac{\pi }{3})$

$21=9k^2+4k^2-12k^2\times \frac{1}{2}$

$21=13k^2-6k^2$

$21=7k^2$

$k^2=3$

$k>0$이므로 $k=\sqrt{3}$입니다.

따라서 $\overline{AB}=3\sqrt{3}$, $\overline{BC}=2\sqrt{3}$이 됩니다.

[함정경고] 여기서 $k$값을 구한 후, 바로 답이라고 착각하여 넓이 계산을 잊어버리는 실수를 하지 않도록 주의하세요.

step4. 구한 변의 길이와 끼인각을 이용하여 삼각형 ABC의 넓이를 계산합니다.

삼각형의 두 변의 길이 $\overline{AB}=3\sqrt{3}$, $\overline{BC}=2\sqrt{3}$와 그 끼인각 $\angle ABC=\frac{\pi }{3}$를 알고 있습니다.

삼각형의 넓이 공식 $S=\frac{1}{2}·\overline{AB}·\overline{BC}·\sin (\angle ABC)$를 적용합니다.

$S=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times \sin (\frac{\pi }{3})$

$S=\frac{1}{2}\times 18\times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S=9\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

따라서 삼각형 ABC의 넓이는 $\frac{9}{2}\sqrt{3}$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 외접원 반지름

$\pi R^2=7\pi ⟹R=\sqrt{7}$

step2. 사인법칙

$\frac{\overline{AC}}{\sin (\frac{\pi }{3})}=2\sqrt{7}$

$\overline{AC}=2\sqrt{7}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{21}$

step3. 코사인법칙

$\overline{AB}=3k,\overline{BC}=2k$ 라 하면,

$(\sqrt{21}{)}^2=(3k{)}^2+(2k{)}^2-2(3k)(2k)\cos (\frac{\pi }{3})$

$21=13k^2-12k^2\times \frac{1}{2}$

$21=7k^2⟹k^2=3⟹k=\sqrt{3}$

$\therefore \overline{AB}=3\sqrt{3},\overline{BC}=2\sqrt{3}$

step4. 삼각형 넓이

$S=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times \sin (\frac{\pi }{3})$

$S=9\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

$\therefore 정답①$

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