2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 13번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 13번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수와 이차방정식의 근과 계수의 관계)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

13. $\frac{\pi }{2}<t<\pi$인 실수 $t$에 대하여 이차방정식 $5x^2+x+k=0$ ($k$는 상수) 가 두 실근 $\sin t$, $\cos t$를 가질 때, $k\times \tan t$의 값은? [3점] ① $\frac{3}{2}$ ② $\frac{9}{5}$ ③ $\frac{21}{10}$ ④ $\frac{12}{5}$ ⑤ $\frac{27}{10}$

1. 문제의 요지

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 $\sin t$와 $\cos t$의 합과 곱을 구하고, 삼각함수의 기본 성질인 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$을 활용하여 미지수 $k$와 $\tan t$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\frac{\pi }{2}<t<\pi$
- 이차방정식 $5x^2+x+k=0$의 두 실근이 $\sin t$, $\cos t$

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차방정식의 근과 계수의 관계와 삼각함수의 항등식을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 근과 계수의 관계를 이용하여 $\sin t+\cos t$와 $\sin t\cos t$를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 삼각함수의 항등식 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$을 이용하여 $k$의 값을 구합니다.

step3. $\sin t$와 $\cos t$의 값을 각각 구하고, 주어진 각의 범위를 이용하여 부호를 결정합니다.

step4. $\tan t$의 값을 구한 후, 최종적으로 $k\times \tan t$를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 근과 계수의 관계: 이차방정식 $a{x}^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라 할 때, $\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}$이다.

- 삼각함수의 항등식: 임의의 각 $t$에 대하여 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$이 성립한다.

- 삼각함수의 부호: 제2사분면($\frac{\pi }{2}<t<\pi$)에서 $\sin t>0$, $\cos t<0$, $\tan t<0$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이차방정식의 두 근이 삼각함수로 주어졌을 때는 근과 계수의 관계를 적용한 후, 양변을 제곱하여 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$을 활용하는 것이 핵심입니다.

step1. 이차방정식 $5x^2+x+k=0$의 두 근이 $\sin t$, $\cos t$이므로, 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.

$\sin t+\cos t=-\frac{1}{5}$

$\sin t\cos t=\frac{k}{5}$

step2. $\sin t+\cos t=-\frac{1}{5}$의 양변을 제곱합니다.

$(\sin t+\cos t{)}^2={\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t+2\sin t\cos t=\frac{1}{25}$

여기서 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$이므로,

$1+2\sin t\cos t=\frac{1}{25}$

$2\sin t\cos t=\frac{1}{25}-1=-\frac{24}{25}$

$\sin t\cos t=-\frac{12}{25}$

앞서 구한 $\sin t\cos t=\frac{k}{5}$와 비교하면,

$\frac{k}{5}=-\frac{12}{25}$

$k=-\frac{12}{5}$

step3. 이제 $\sin t$와 $\cos t$의 값을 각각 구합니다.

두 수의 합이 $-\frac{1}{5}$이고 곱이 $-\frac{12}{25}$이므로, $\sin t$와 $\cos t$는 다음 이차방정식의 두 근입니다.

$X^2+\frac{1}{5}X-\frac{12}{25}=0$

양변에 25를 곱하면,

$25X^2+5X-12=0$

$(5X-3)(5X+4)=0$

따라서 두 근은 $\frac{3}{5}$와 $-\frac{4}{5}$입니다.

[함정경고] 여기서 $\sin t$와 $\cos t$ 중 어느 것이 양수이고 음수인지 판단할 때, 주어진 각 $t$의 범위를 놓치기 쉽습니다. 반드시 사분면을 확인해야 합니다.

주어진 조건에서 $\frac{\pi }{2}<t<\pi$이므로 $t$는 제2사분면의 각입니다.

제2사분면에서는 $\sin t>0$, $\cos t<0$이므로,

$\sin t=\frac{3}{5}$, $\cos t=-\frac{4}{5}$로 확정됩니다.

step4. $\tan t$의 값을 구하고 최종 답을 계산합니다.

$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

따라서 구하고자 하는 값은

$k\times \tan t=(-\frac{12}{5})\times (-\frac{3}{4})=\frac{36}{20}=\frac{9}{5}$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 근과 계수의 관계

$\sin t+\cos t=-\frac{1}{5}$

$\sin t\cos t=\frac{k}{5}$

step2. 양변 제곱

$(\sin t+\cos t{)}^2=1+2\sin t\cos t=\frac{1}{25}$

$2\left(\frac{k}{5}\right)=-\frac{24}{25}$

$\therefore k=-\frac{12}{5}$

step3. $\sin t,\cos t$ 구하기

$\sin t\cos t=-\frac{12}{25}$

$X^2+\frac{1}{5}X-\frac{12}{25}=0$

$25X^2+5X-12=0$

$(5X-3)(5X+4)=0$

$X=\frac{3}{5}$ 또는 $-\frac{4}{5}$

---(제2사분면이므로 $\sin t>0,\cos t<0$)

$\sin t=\frac{3}{5},\cos t=-\frac{4}{5}$

step4. 최종 계산

$\tan t=\frac{\sin t}{\cos t}=-\frac{3}{4}$

$\therefore k\times \tan t=(-\frac{12}{5})\times (-\frac{3}{4})=\frac{9}{5}$

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