2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 14번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 14번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

14. 곡선 $y=2^x$ 위의 두 점 A, B에 대하여 선분 AB의 중점을 M, 점 M을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 곡선 $y=2^x$과 만나는 점을 N이라 하자. 두 점 A, B의 $x$좌표가 각각 $\frac{1}{2}{\log }_2\frac{3}{2},\frac{5}{2}{\log }_2\frac{3}{2}$ 일 때, 선분 MN의 길이는? [4점] ① $\frac{\sqrt{6}}{48}$ ② $\frac{\sqrt{6}}{24}$ ③ $\frac{\sqrt{6}}{16}$ ④ $\frac{\sqrt{6}}{12}$ ⑤ $\frac{5}{48}\sqrt{6}$

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 그래프 위의 두 점의 좌표를 구하고, 중점의 좌표와 지수법칙을 이용하여 선분의 길이를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선 $y=2^x$
- 점 A, B는 곡선 $y=2^x$ 위의 점
- 점 M은 선분 AB의 중점
- 점 N은 점 M을 지나고 $x$축에 수직인 직선과 곡선 $y=2^x$의 교점
- 점 A의 $x$좌표: $x_A=\frac{1}{2}{\log }_2\frac{3}{2}$
- 점 B의 $x$좌표: $x_B=\frac{5}{2}{\log }_2\frac{3}{2}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수함수의 성질과 로그의 성질을 이용하여 각 점의 좌표를 구하고, 두 점 사이의 거리를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 A와 점 B의 $x$좌표를 이용하여 $y$좌표를 각각 구합니다.

step2. 선분 AB의 중점 M의 $x$좌표와 $y$좌표를 구합니다.

step3. 점 M과 $x$좌표가 같은 점 N의 $y$좌표를 구합니다.

step4. 점 M과 점 N의 $y$좌표의 차를 이용하여 선분 MN의 길이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 성질: $a^{{\log }_{a}b}=b$ (단, $a>0,a\ne 1,b>0$)

- 중점의 좌표: 두 점 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$를 이은 선분의 중점의 좌표는 $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 지수함수 $y=2^x$에 $x$좌표를 대입할 때, 지수에 로그가 있는 경우 $a^{{\log }_{a}b}=b$ 성질을 이용하면 $y$좌표를 쉽게 구할 수 있습니다.

step1. 점 A와 점 B의 $y$좌표 구하기

점 A의 $x$좌표를 $x_A$, 점 B의 $x$좌표를 $x_B$라 하면,

$x_A=\frac{1}{2}{\log }_2\frac{3}{2}={\log }_2{\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}={\log }_2\sqrt{\frac{3}{2}}$

$x_B=\frac{5}{2}{\log }_2\frac{3}{2}={\log }_2{\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{5}{2}}$

점 A와 B는 곡선 $y=2^x$ 위의 점이므로 $y$좌표는 각각 다음과 같습니다.

$y_A=2^{x_A}=2^{{\log }_2\sqrt{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$

$y_B=2^{x_B}=2^{{\log }_2{\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{5}{2}}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{5}{2}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}$

step2. 중점 M의 좌표 구하기

점 M은 선분 AB의 중점이므로,

점 M의 $x$좌표: $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}{\log }_2\frac{3}{2}+\frac{5}{2}{\log }_2\frac{3}{2})=\frac{1}{2}\left(3{\log }_2\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}{\log }_2\frac{3}{2}$

점 M의 $y$좌표: $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{2}})=\frac{1}{2}\left(\frac{13}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=\frac{13}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}$

step3. 점 N의 $y$좌표 구하기

점 N은 점 M을 지나고 $x$축에 수직인 직선 위의 점이므로 $x$좌표가 점 M과 같습니다. 즉, $x_N=x_M=\frac{3}{2}{\log }_2\frac{3}{2}$ 입니다.

점 N은 곡선 $y=2^x$ 위의 점이므로,

$y_N=2^{x_N}=2^{\frac{3}{2}{\log }_2\frac{3}{2}}=2^{{\log }_2{\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$

step4. 선분 MN의 길이 계산하기

[함정경고] 선분 MN은 $y$축에 평행하므로 두 점의 $y$좌표의 차이로 길이를 구해야 합니다. $x$좌표까지 고려하여 두 점 사이의 거리 공식을 쓰면 계산이 복잡해집니다.

선분 MN의 길이는 점 M과 점 N의 $y$좌표의 차이입니다.

$MN=y_M-y_N=\frac{13}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}=(\frac{13}{8}-\frac{12}{8})\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}$

이를 유리화하면,

$\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{8}\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{16}$

따라서 선분 MN의 길이는 $\frac{\sqrt{6}}{16}$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 A, B의 y좌표

$x_A=\frac{1}{2}{\log }_2\frac{3}{2}={\log }_2\sqrt{\frac{3}{2}}$

$y_A=2^{x_A}=\sqrt{\frac{3}{2}}$

$x_B=\frac{5}{2}{\log }_2\frac{3}{2}={\log }_2{\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{5}{2}}$

$y_B=2^{x_B}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{5}{2}}=\frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}$

step2. 중점 M의 좌표

$y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{1}{2}(1+\frac{9}{4})\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{13}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}$

$x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3}{2}{\log }_2\frac{3}{2}$

step3. 점 N의 y좌표

$x_N=x_M=\frac{3}{2}{\log }_2\frac{3}{2}$

$y_N=2^{x_N}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$

step4. 선분 MN의 길이

$MN=y_M-y_N=(\frac{13}{8}-\frac{3}{2})\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{2}}$

$=\frac{1}{8}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{16}$

$\therefore 정답③$

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