2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 17번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 17번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

17. $0\le x<24$ 에서 부등식 $(\sin \frac{\pi }{12}x-\frac{1}{2})(\cos \frac{\pi }{12}x-\frac{1}{2})<0$ 을 만족시키는 모든 정수 $x$ 의 개수는? [4점] ① 8 ② 10 ③ 12 ④ 14 ⑤ 16

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 그래프와 부등식을 이용하여 주어진 범위 내에서 조건을 만족하는 정수 해의 개수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $0\le x<24$
- $(\sin \frac{\pi }{12}x-\frac{1}{2})(\cos \frac{\pi }{12}x-\frac{1}{2})<0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 치환을 통해 부등식을 풀고, 조건을 만족하는 정수 해를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $\frac{\pi }{12}x$ 를 $\theta$ 로 치환하여 부등식을 간단히 하고, $\theta$ 의 범위를 구합니다.

step2. 두 식의 곱이 음수라는 조건을 이용하여 두 가지 경우로 나누어 $\theta$ 의 범위를 구합니다.

step3. 구한 $\theta$ 의 범위를 다시 $x$ 의 범위로 변환합니다.

step4. 각 범위에 속하는 정수 $x$ 의 개수를 세어 총합을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각부등식: 삼각함수가 포함된 부등식을 풀 때는 단위원이나 삼각함수의 그래프를 이용하여 해를 구합니다.

- 치환: 복잡한 식을 간단한 문자로 바꾸어 문제를 쉽게 해결하는 방법입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 복잡한 각도 $\frac{\pi }{12}x$ 를 하나의 문자 $\theta$ 로 치환하면 익숙한 삼각부등식 문제로 바꿀 수 있습니다. 두 식의 곱이 음수라는 것은 두 식의 부호가 서로 다르다는 것을 의미합니다.

step1. $\frac{\pi }{12}x$ 를 $\theta$ 로 치환하여 부등식을 간단히 하고, $\theta$ 의 범위를 구합니다.

$\theta =\frac{\pi }{12}x$ 라고 치환합시다.

주어진 $x$ 의 범위가 $0\le x<24$ 이므로, 각 변에 $\frac{\pi }{12}$ 를 곱하면 $0\le \frac{\pi }{12}x<2\pi$ 가 됩니다.

따라서 $\theta$ 의 범위는 $0\le \theta <2\pi$ 입니다.

주어진 부등식은 다음과 같이 간단해집니다.

$(\sin \theta -\frac{1}{2})(\cos \theta -\frac{1}{2})<0$

step2. 두 식의 곱이 음수라는 조건을 이용하여 두 가지 경우로 나누어 $\theta$ 의 범위를 구합니다.

두 수의 곱이 음수이려면 하나는 양수이고 다른 하나는 음수여야 합니다. 따라서 다음 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.

경우 1: $\sin \theta -\frac{1}{2}>0$ 이고 $\cos \theta -\frac{1}{2}<0$ 인 경우

즉, $\sin \theta >\frac{1}{2}$ 이고 $\cos \theta <\frac{1}{2}$ 입니다.

$0\le \theta <2\pi$ 에서 $\sin \theta >\frac{1}{2}$ 인 범위는 $\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{5\pi }{6}$ 입니다.

이 범위 내에서 $\cos \theta <\frac{1}{2}$ 인 부분을 찾아야 합니다.

$\cos \theta =\frac{1}{2}$ 인 $\theta$ 값은 $\frac{\pi }{3}$ 와 $\frac{5\pi }{3}$ 입니다.

따라서 $\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{5\pi }{6}$ 범위에서 $\cos \theta <\frac{1}{2}$ 를 만족하는 범위는 $\frac{\pi }{3}<\theta <\frac{5\pi }{6}$ 입니다.

경우 2: $\sin \theta -\frac{1}{2}<0$ 이고 $\cos \theta -\frac{1}{2}>0$ 인 경우

즉, $\sin \theta <\frac{1}{2}$ 이고 $\cos \theta >\frac{1}{2}$ 입니다.

$0\le \theta <2\pi$ 에서 $\sin \theta <\frac{1}{2}$ 인 범위는 $0\le \theta <\frac{\pi }{6}$ 또는 $\frac{5\pi }{6}<\theta <2\pi$ 입니다.

이 범위 내에서 $\cos \theta >\frac{1}{2}$ 인 부분을 찾아야 합니다.

$0\le \theta <2\pi$ 에서 $\cos \theta >\frac{1}{2}$ 인 범위는 $0\le \theta <\frac{\pi }{3}$ 또는 $\frac{5\pi }{3}<\theta <2\pi$ 입니다.

두 조건의 공통 범위를 구하면:

- $0\le \theta <\frac{\pi }{6}$ 와 $0\le \theta <\frac{\pi }{3}$ 의 공통 범위는 $0\le \theta <\frac{\pi }{6}$ 입니다.

- $\frac{5\pi }{6}<\theta <2\pi$ 와 $\frac{5\pi }{3}<\theta <2\pi$ 의 공통 범위는 $\frac{5\pi }{3}<\theta <2\pi$ 입니다.

따라서 경우 2를 만족하는 $\theta$ 의 범위는 $0\le \theta <\frac{\pi }{6}$ 또는 $\frac{5\pi }{3}<\theta <2\pi$ 입니다.

step3. 구한 $\theta$ 의 범위를 다시 $x$ 의 범위로 변환합니다.

$\theta =\frac{\pi }{12}x$ 이므로, 각 변에 $\frac{12}{\pi }$ 를 곱하여 $x$ 의 범위를 구합니다.

경우 1의 $x$ 범위:

$\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{12}x<\frac{5\pi }{6}$

각 변에 $\frac{12}{\pi }$ 를 곱하면: $4<x<10$

경우 2의 $x$ 범위:

$0\le \frac{\pi }{12}x<\frac{\pi }{6}$ 또는 $\frac{5\pi }{3}<\frac{\pi }{12}x<2\pi$

각 변에 $\frac{12}{\pi }$ 를 곱하면: $0\le x<2$ 또는 $20<x<24$

step4. 각 범위에 속하는 정수 $x$ 의 개수를 세어 총합을 구합니다.

- $4<x<10$ 범위의 정수: 5, 6, 7, 8, 9 (5개)

- $0\le x<2$ 범위의 정수: 0, 1 (2개)

- $20<x<24$ 범위의 정수: 21, 22, 23 (3개)

[함정경고] 부등호에 등호가 포함되어 있는지 주의해야 합니다. $0\le x<24$ 이므로 $x=0$ 은 포함되지만 $x=24$ 는 포함되지 않습니다.

따라서 조건을 만족하는 모든 정수 $x$ 의 개수는 $5+2+3=10$ 개입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 치환 및 범위 설정

$\theta =\frac{\pi }{12}x$ 로 치환

$0\le x<24$ 이므로 $0\le \theta <2\pi$

$(\sin \theta -\frac{1}{2})(\cos \theta -\frac{1}{2})<0$

step2. 부등식 풀이

경우 1: $\sin \theta >\frac{1}{2}$ 이고 $\cos \theta <\frac{1}{2}$

$\frac{\pi }{6}<\theta <\frac{5\pi }{6}$ 이고 $(\frac{\pi }{3}<\theta <\frac{5\pi }{3}$ 또는 $\theta$ 범위 밖$)$

$\therefore \frac{\pi }{3}<\theta <\frac{5\pi }{6}$

경우 2: $\sin \theta <\frac{1}{2}$ 이고 $\cos \theta >\frac{1}{2}$

$(0\le \theta <\frac{\pi }{6}$ 또는 $\frac{5\pi }{6}<\theta <2\pi )$ 이고 $(0\le \theta <\frac{\pi }{3}$ 또는 $\frac{5\pi }{3}<\theta <2\pi )$

$\therefore 0\le \theta <\frac{\pi }{6}$ 또는 $\frac{5\pi }{3}<\theta <2\pi$

step3. x의 범위 구하기

$\theta =\frac{\pi }{12}x$ 대입

경우 1: $\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{12}x<\frac{5\pi }{6}\Rightarrow 4<x<10$

경우 2: $0\le \frac{\pi }{12}x<\frac{\pi }{6}$ 또는 $\frac{5\pi }{3}<\frac{\pi }{12}x<2\pi \Rightarrow 0\le x<2$ 또는 $20<x<24$

step4. 정수 개수 세기

$4<x<10$: 5, 6, 7, 8, 9   --- 5개

$0\le x<2$: 0, 1   --- 2개

$20<x<24$: 21, 22, 23   --- 3개

총 개수 = 5 + 2 + 3 = 10

$\therefore 10$

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