2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 20번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 20번
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 이차함수의 그래프, 방정식의 실근의 개수)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

20. $t>4$인 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $|2^{-x+3}-2|=-x^2+tx-4$ 의 서로 다른 두 실근을 $\alpha$, $\beta (\alpha <\beta )$라 하자. 함수 $f(x)=\{\begin{array}{cc}|2^{-x+3}-2|\hfill & (x<\alpha \text{ 또는 }x>\beta )\hfill \\ -x^2+tx-4\hfill & (\alpha \le x\le \beta )\hfill \end{array}$ 에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x)=f(\frac{t}{2})$의 서로 다른 실근의 개수가 2가 되도록 하는 $t$의 최솟값은? [4점] ① $2\sqrt{6}$ ② $\sqrt{26}$ ③ $2\sqrt{7}$ ④ $\sqrt{30}$ ⑤ $4\sqrt{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 새롭게 정의된 함수 $f(x)$의 그래프 개형을 파악하고, 특히 지수함수 부분의 점근선을 고려하여 상수함수와의 교점 개수 조건을 도출할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $t>4$
- 방정식 $|2^{-x+3}-2|=-x^2+tx-4$의 두 실근 $\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$
- $f(x)=\{\begin{array}{cc}|2^{-x+3}-2|\hfill & (x<\alpha \text{ 또는 }x>\beta )\hfill \\ -x^2+tx-4\hfill & (\alpha \le x\le \beta )\hfill \end{array}$
- 방정식 $f(x)=f(\frac{t}{2})$의 서로 다른 실근의 개수가 2

3. 풀이의 순서

이 문제는 두 함수의 그래프 개형을 그리고 점근선을 파악하여 교점의 개수를 추론하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 함수 $h(x)$와 $g(x)$의 그래프 개형 및 교점 $\alpha ,\beta$의 위치를 파악합니다.

step2. 조건에 따라 정의된 함수 $f(x)$의 구간별 그래프 개형을 분석합니다.

step3. 방정식 $f(x)=f(t/2)$의 실근의 개수가 2가 되기 위한 조건을 도출합니다.

step4. 부등식을 풀어 $t$의 최솟값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차함수의 최대최소: 이차함수 $y=a{x}^2+bx+c$는 꼭짓점에서 최댓값 또는 최솟값을 가집니다.

- 지수함수의 점근선: 지수함수 $y=a^x+q$의 점근선은 $y=q$입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이 문제는 새롭게 정의된 함수 $f(x)$의 그래프 개형을 파악하고, 특히 지수함수 부분의 점근선을 고려하여 상수함수 $y=f(t/2)$와의 교점 개수를 구하는 것이 핵심입니다.

step1. 두 함수 $h(x)=-x^2+tx-4$와 $g(x)=|2^{-x+3}-2|$의 그래프 개형을 분석합니다.

$h(x)=-(x-\frac{t}{2}{)}^2+\frac{t^2}{4}-4$이므로, 위로 볼록하고 꼭짓점이 $(\frac{t}{2},\frac{t^2}{4}-4)$인 이차함수입니다.

$g(x)$는 $2^{-x+3}-2=0$이 되는 $x=2$에서 최솟값 0을 가집니다.

$t>4$이므로 $h(2)=-4+2t-4=2t-8>0$입니다.

$g(2)=0$이므로 $h(2)>g(2)$가 성립합니다.

따라서 두 함수의 교점 $\alpha ,\beta (\alpha <\beta )$에 대하여 $\alpha <2<\beta$임을 알 수 있습니다.

또한, 꼭짓점의 $x$좌표인 $\frac{t}{2}$는 $t>4$이므로 $\frac{t}{2}>2$입니다.

step2. 함수 $f(x)$의 그래프 개형을 파악합니다.

$f(x)$는 $\alpha \le x\le \beta$ 구간에서는 이차함수 $h(x)$를 따르고, 그 외의 구간에서는 $g(x)$를 따릅니다.

- $x<\alpha$ 구간: $g(x)=2^{-x+3}-2$ (감소하는 형태)

- $\alpha \le x\le \beta$ 구간: $h(x)$ (위로 볼록, $x=\frac{t}{2}$에서 최댓값 $\frac{t^2}{4}-4$를 가짐)

- $x>\beta$ 구간: $g(x)=-(2^{-x+3}-2)=2-2^{-x+3}$ (증가하며 점근선 $y=2$에 한없이 가까워짐)

[함정경고] 여기서 $x>\beta$ 구간의 그래프가 점근선 $y=2$를 가진다는 사실을 놓치기 쉽습니다. 이 점근선이 실근의 개수를 결정하는 결정적 역할을 합니다.

step3. 방정식 $f(x)=f(\frac{t}{2})$의 실근의 개수 조건을 확인합니다.

$f(\frac{t}{2})$는 이차함수 부분의 꼭짓점의 $y$좌표이므로 $f(x)$의 극댓값 중 하나입니다.

방정식 $f(x)=f(\frac{t}{2})$의 실근은 $y=f(x)$ 그래프와 직선 $y=f(\frac{t}{2})$의 교점의 $x$좌표입니다.

- $x=\frac{t}{2}$에서 교점이 1개 발생합니다.

- $x<\alpha$ 구간에서 $f(x)$는 무한대에서 $f(\alpha )$까지 감소하므로, $f(\frac{t}{2})>f(\alpha )$인 이상 반드시 교점이 1개 발생합니다. (현재까지 총 2개)

- $x>\beta$ 구간에서 $f(x)$는 점근선 $y=2$ 아래에 존재합니다 ($f(x)<2$).

따라서 실근의 개수가 정확히 2개가 되려면, $x>\beta$ 구간에서 교점이 발생하지 않아야 합니다.

즉, 직선 $y=f(\frac{t}{2})$가 점근선 $y=2$보다 크거나 같아야 합니다.

$f(\frac{t}{2})\ge 2$

step4. $t$의 최솟값을 계산합니다.

$f(\frac{t}{2})=\frac{t^2}{4}-4\ge 2$

$\frac{t^2}{4}\ge 6$

$t^2\ge 24$

$t>4$이므로 $t\ge 2\sqrt{6}$입니다.

따라서 $t$의 최솟값은 $2\sqrt{6}$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 그래프 개형 및 교점 파악

$h(x)=-x^2+tx-4=-(x-\frac{t}{2}{)}^2+\frac{t^2}{4}-4$

$g(x)=|2^{-x+3}-2|$

$h(2)=2t-8>0$, $g(2)=0$   --- ($t>4$이므로)

$\therefore \alpha <2<\beta$

step2. $f(x)$의 개형 파악

$x<\alpha$: $y=2^{-x+3}-2$   --- 감소

$\alpha \le x\le \beta$: $y=h(x)$   --- 위로 볼록, 꼭짓점 $x=\frac{t}{2}$

$x>\beta$: $y=2-2^{-x+3}$   --- 증가, 점근선 $y=2$

step3. 실근 개수 조건

$f(\frac{t}{2})=\frac{t^2}{4}-4$

$f(x)=f(\frac{t}{2})$의 실근은 $x=\frac{t}{2}$ (1개), $x<\alpha$ (1개)에서 무조건 발생

실근이 2개가 되려면 $x>\beta$에서 교점이 없어야 함

$\therefore f(\frac{t}{2})\ge 2$   --- (점근선 조건)

step4. $t$의 최솟값 계산

$\frac{t^2}{4}-4\ge 2$

$t^2\ge 24$

$t\ge 2\sqrt{6}$   --- ($t>4$이므로)

$\therefore$ 정답은 $2\sqrt{6}$

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