2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 23번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 23번
문제의 분류	고등학교 (지수방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

방정식 $3^{4-x}=9^{x-7}$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 밑을 같게 만들어 지수끼리 비교하는 지수방정식의 풀이법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 방정식: $3^{4-x}=9^{x-7}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 밑을 통일하여 지수끼리 비교하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 우변의 밑인 9를 3의 거듭제곱으로 변환합니다.

step2. 지수법칙을 이용하여 우변의 지수를 정리합니다.

step3. 양변의 밑이 같아졌으므로 지수끼리 같다는 방정식을 세우고 풉니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙: $(a^m{)}^n=a^{mn}$ (단, $a>0$)

- 지수방정식의 성질: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ 이면 $f(x)=g(x)$ 이다. (단, $a>0,a\ne 1$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 지수방정식을 풀 때 가장 먼저 해야 할 일은 양변의 '밑'을 같게 만들 수 있는지 확인하는 것입니다.

step1. 우변의 밑인 9를 3의 거듭제곱으로 변환합니다.

주어진 방정식은 $3^{4-x}=9^{x-7}$ 입니다.

우변의 밑 9는 $3^2$으로 나타낼 수 있습니다.

step2. 지수법칙을 이용하여 우변의 지수를 정리합니다.

지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$을 이용하면,

$9^{x-7}=(3^2{)}^{x-7}=3^{2(x-7)}=3^{2x-14}$ 가 됩니다.

따라서 주어진 방정식은 다음과 같이 바뀝니다.

$3^{4-x}=3^{2x-14}$

step3. 양변의 밑이 같아졌으므로 지수끼리 같다는 방정식을 세우고 풉니다.

밑이 3으로 같으므로, 지수끼리 같아야 합니다.

$4-x=2x-14$

[함정경고] 여기서 $2(x-7)$을 전개할 때 $-14$가 아닌 $-7$로 잘못 적지 않도록 주의해야 합니다.

이제 이 일차방정식을 풀어줍니다.

$-x$를 우변으로, $-14$를 좌변으로 이항하면,

$4+14=2x+x$

$18=3x$

양변을 3으로 나누면,

$x=6$

따라서 실수 $x$의 값은 6입니다.

[정답] 6

⚡ 실전용 풀이

step1. , 2. 밑 통일 및 지수법칙

$3^{4-x}=(3^2{)}^{x-7}$

$3^{4-x}=3^{2x-14}$

step3. 지수 비교

$4-x=2x-14$   --- (밑이 같으므로 지수끼리 비교)

$3x=18$

$x=6$

$\therefore 6$

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