2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 25번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 25번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=6\cos ax+10$ 의 주기가 $4\pi$ 일 때, $f(\frac{4}{3}\pi )$ 의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 주기 공식을 이용하여 미지수 $a$를 구하고, 주어진 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 양수 $a$
- 함수 $f(x)=6\cos ax+10$
- 함수 $f(x)$의 주기는 $4\pi$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 주기 성질을 이용하여 미지수를 찾고 함숫값을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 코사인 함수의 주기 공식을 이용하여 양수 $a$의 값을 구합니다.

step2. 구한 $a$를 함수 $f(x)$에 대입하여 함수식을 완성합니다.

step3. 완성된 함수식에 $x=\frac{4}{3}\pi$를 대입하여 최종 함숫값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 주기: 함수 $y=A\cos (Bx)+C$의 주기는 $\frac{2\pi }{|B|}$ 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수 $y=\cos (ax)$의 주기는 $\frac{2\pi }{|a|}$임을 이용하는 것이 핵심입니다.

step1. 코사인 함수의 주기 공식을 이용하여 양수 $a$의 값을 구합니다.

함수 $f(x)=6\cos ax+10$의 주기는 $x$의 계수인 $a$에 의해 결정됩니다.

코사인 함수의 기본 주기는 $2\pi$이므로, $f(x)$의 주기는 $\frac{2\pi }{|a|}$가 됩니다.

문제에서 $a$가 양수라고 주어졌으므로, 주기는 $\frac{2\pi }{a}$입니다.

이 주기가 $4\pi$와 같아야 하므로 다음 식을 세울 수 있습니다.

$\frac{2\pi }{a}=4\pi$

양변을 정리하여 $a$를 구하면,

$a=\frac{2\pi }{4\pi }=\frac{1}{2}$ 입니다.

step2. 구한 $a$를 함수 $f(x)$에 대입하여 함수식을 완성합니다.

$a=\frac{1}{2}$을 원래 함수식에 대입하면,

$f(x)=6\cos (\frac{1}{2}x)+10$ 이 됩니다.

step3. 완성된 함수식에 $x=\frac{4}{3}\pi$를 대입하여 최종 함숫값을 계산합니다.

구하고자 하는 값은 $f(\frac{4}{3}\pi )$이므로, $x$ 자리에 $\frac{4}{3}\pi$를 대입합니다.

$f(\frac{4}{3}\pi )=6\cos (\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi )+10$

$=6\cos (\frac{2}{3}\pi )+10$

[함정경고] $\cos (\frac{2}{3}\pi )$의 값을 계산할 때 부호에 주의해야 합니다. 제2사분면의 각이므로 코사인 값은 음수입니다.

$\cos (\frac{2}{3}\pi )=\cos (\pi -\frac{\pi }{3})=-\cos (\frac{\pi }{3})=-\frac{1}{2}$ 입니다.

따라서,

$f(\frac{4}{3}\pi )=6\times (-\frac{1}{2})+10$

$=-3+10$

$=7$

정답은 7입니다.

[정답] 7

⚡ 실전용 풀이

step1. 주기 공식을 이용한 a 계산

$\frac{2\pi }{a}=4\pi$   --- (a>0이므로)$

$a=\frac{1}{2}$

step2. 함수식 완성

$f(x)=6\cos (\frac{1}{2}x)+10$

step3. 함숫값 계산

$f(\frac{4}{3}\pi )=6\cos (\frac{1}{2}·\frac{4}{3}\pi )+10$

$=6\cos (\frac{2}{3}\pi )+10$

$=6·(-\frac{1}{2})+10$

= -3 + 10

= 7

$\therefore 7$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기