2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 27번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 27번
문제의 분류	고등학교 (지수와 로그)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

다음 조건을 만족시키는 두 자연수 $m$, $n$에 대하여 모든 $m$ 값의 합을 구하시오. (가) $m$의 양의 제곱근은 $n$의 양의 네제곱근의 2배이다. (나) $\frac{3m}{n}$은 자연수이다.

1. 문제의 요지

이 문제는 거듭제곱근의 성질을 이용하여 두 자연수 사이의 관계식을 세우고, 주어진 조건에 맞는 자연수 쌍을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $m,n$은 자연수
- (가) $\sqrt{m}=2\times \sqrt[4]{n}$
- (나) $\frac{3m}{n}$은 자연수

3. 풀이의 순서

이 문제는 거듭제곱근의 정의를 이용하여 관계식을 세우고, 약수와 배수의 성질을 이용하여 조건을 만족하는 자연수를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)를 이용하여 $m$과 $n$ 사이의 관계식을 세웁니다.

step2. 조건 (나)에 step1에서 구한 관계식을 대입하여 $m$이 만족해야 할 조건을 찾습니다.

step3. $n$이 자연수라는 조건을 추가로 고려하여 가능한 $m$의 값을 모두 찾고, 그 합을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 거듭제곱근의 성질: $a>0$일 때, $(\sqrt[n]{a}{)}^n=a$ 이다.

- 약수와 배수: $\frac{a}{b}$가 자연수이려면 $b$는 $a$의 약수이어야 한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 거듭제곱근의 정의를 정확히 수식으로 표현하고, 두 조건을 동시에 만족하는 자연수의 성질(약수와 배수)을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (가)를 수식으로 나타냅니다.

$m$의 양의 제곱근은 $\sqrt{m}$이고, $n$의 양의 네제곱근은 $\sqrt[4]{n}$입니다.

따라서 조건 (가)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$\sqrt{m}=2\sqrt[4]{n}$

양변을 네제곱하여 근호를 없앱니다.

$(\sqrt{m}{)}^4=(2\sqrt[4]{n}{)}^4$

$m^2=16n$

이를 $n$에 대하여 정리하면 $n=\frac{m^2}{16}$ 입니다.

step2. 조건 (나)를 분석합니다.

조건 (나)에서 $\frac{3m}{n}$이 자연수라고 하였습니다.

여기에 step1에서 구한 $n=\frac{m^2}{16}$을 대입합니다.

$\frac{3m}{n}=\frac{3m}{\frac{m^2}{16}}=\frac{48m}{m^2}=\frac{48}{m}$

이 값이 자연수가 되어야 하므로, $m$은 48의 양의 약수이어야 합니다.

48의 양의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48 입니다.

step3. $n$이 자연수일 조건을 확인합니다.

[함정경고] 여기서 $m$이 48의 약수라는 것만 생각하고 바로 답을 구하면 안 됩니다. $n$도 자연수라는 사실을 놓치기 쉽습니다.

$n=\frac{m^2}{16}$이 자연수가 되려면, $m^2$은 16의 배수이어야 합니다.

즉, $m$은 4의 배수이어야 합니다.

앞서 구한 48의 약수 중 4의 배수인 것을 찾으면,

$m=4,8,12,16,24,48$ 입니다.

따라서 모든 $m$의 값의 합은

$4+8+12+16+24+48=112$ 입니다.

[정답] 112

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 (가) 정리

$\sqrt{m}=2\sqrt[4]{n}$

양변 네제곱: $m^2=16n$

$n=\frac{m^2}{16}$

step2. 조건 (나) 정리

$\frac{3m}{n}=\frac{3m}{\frac{m^2}{16}}=\frac{48}{m}$

$\frac{48}{m}$이 자연수이므로 $m$은 48의 약수

step3. $n$의 자연수 조건 확인

$n=\frac{m^2}{16}$이 자연수이므로 $m$은 4의 배수

48의 약수 중 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 24, 48

합 = $4+8+12+16+24+48=112$

$\therefore 112$

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