2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 29번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 학력평가 (고2) 수학 29번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 $\overline{AB}=4$, $\overline{AC}=5$, $\cos (\angle BAC)=\frac{1}{8}$ 인 삼각형 ABC가 있다. 선분 BC를 1:2로 내분하는 점을 D, 직선 AD가 삼각형 ABC의 외접원과 만나는 점 중 A가 아닌 점을 E라 하자. 점 D에서 선분 CE에 내린 수선의 발을 F라 할 때, 선분 FC의 길이는 $\frac{q}{p}\sqrt{11}$ 이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,q$는 서로소인 자연수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 코사인법칙, 사인법칙, 원주각의 성질, 그리고 직각삼각형에서의 삼각비를 종합적으로 활용하여 선분의 길이를 구하는 능력을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\overline{AB}=4$
- $\overline{AC}=5$
- $\cos (\angle BAC)=\frac{1}{8}$
- 점 D는 선분 BC를 1:2로 내분하는 점
- 점 E는 직선 AD와 외접원의 교점 (A가 아님)
- 점 F는 점 D에서 선분 CE에 내린 수선의 발
- $\overline{FC}=\frac{q}{p}\sqrt{11}$ ($p,q$는 서로소인 자연수)

3. 풀이의 순서

이 문제는 코사인법칙을 이용하여 변의 길이를 구하고, 원주각의 성질과 직각삼각형의 삼각비를 활용하여 목표하는 선분의 길이를 도출하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 이용하여 선분 BC의 길이를 구합니다.

step2. 내분점 조건에 따라 선분 BD와 CD의 길이를 구합니다.

step3. 삼각형 ABC에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos B$의 값을 구합니다.

step4. 삼각형 ABD에서 코사인법칙을 이용하여 선분 AD의 길이를 구합니다.

step5. 삼각형 ABD에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos (\angle BAD)$의 값을 구합니다.

step6. 원주각의 성질을 이용하여 $\angle DCE=\angle BAD$ 임을 확인합니다.

step7. 직각삼각형 DFC에서 삼각비를 이용하여 선분 FC의 길이를 구하고, $p+q$의 값을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 코사인법칙: 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인가의 크기를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있습니다. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

- 원주각의 성질: 한 원에서 같은 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각형의 두 변과 끼인각이 주어졌을 때 코사인법칙을 사용하여 나머지 변의 길이를 구하고, 원주각의 성질을 통해 각을 이동시켜 직각삼각형에서 원하는 길이를 찾아내는 것이 핵심입니다.

step1. 삼각형 ABC에서 **코사인법칙**을 적용하여 선분 BC의 길이를 구합니다.

${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2·\overline{AB}·\overline{AC}·\cos (\angle BAC)$

${\overline{BC}}^2=4^2+5^2-2·4·5·\frac{1}{8}=16+25-5=36$

따라서 $\overline{BC}=6$ 입니다.

step2. 점 D는 선분 BC를 1:2로 내분하므로, 선분 BD와 CD의 길이는 다음과 같습니다.

$\overline{BD}=6\times \frac{1}{3}=2$

$\overline{CD}=6\times \frac{2}{3}=4$

step3. 삼각형 ABC에서 세 변의 길이를 모두 알게 되었으므로, **코사인법칙**을 이용하여 $\cos B$의 값을 구합니다.

$\cos B=\frac{{\overline{AB}}^2+{\overline{BC}}^2-{\overline{AC}}^2}{2·\overline{AB}·\overline{BC}}=\frac{4^2+6^2-5^2}{2·4·6}=\frac{16+36-25}{48}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$

step4. 삼각형 ABD에서 두 변 $\overline{AB},\overline{BD}$의 길이와 끼인각 $B$의 코사인 값을 알므로, **코사인법칙**을 이용하여 선분 AD의 길이를 구합니다.

${\overline{AD}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{BD}}^2-2·\overline{AB}·\overline{BD}·\cos B$

${\overline{AD}}^2=4^2+2^2-2·4·2·\frac{9}{16}=16+4-9=11$

따라서 $\overline{AD}=\sqrt{11}$ 입니다.

step5. 삼각형 ABD에서 세 변의 길이를 모두 알게 되었으므로, **코사인법칙**을 이용하여 $\cos (\angle BAD)$의 값을 구합니다.

${\overline{BD}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2-2·\overline{AB}·\overline{AD}·\cos (\angle BAD)$

$2^2=4^2+(\sqrt{11}{)}^2-2·4·\sqrt{11}·\cos (\angle BAD)$

$4=16+11-8\sqrt{11}\cos (\angle BAD)$

$8\sqrt{11}\cos (\angle BAD)=23$

$\cos (\angle BAD)=\frac{23}{8\sqrt{11}}$

step6. 원주각의 성질**에 의해 호 BE에 대한 원주각의 크기는 같으므로, $\angle BCE=\angle BAE$ 입니다.

즉, $\angle DCE=\angle BAD$ 가 성립합니다.

[함정경고] 여기서 원주각의 성질을 떠올리지 못하고 다른 복잡한 방법으로 접근하면 계산이 매우 어려워질 수 있습니다. 원에 내접하는 삼각형이 주어지면 항상 원주각을 확인하는 습관을 가져야 합니다.

step7. 직각삼각형 DFC에서 $\angle DFC={90}^{\circ }$ 이므로, 삼각비를 이용하여 선분 FC의 길이를 구할 수 있습니다.

$\overline{FC}=\overline{CD}·\cos (\angle DCE)$

앞서 구한 $\overline{CD}=4$ 와 $\cos (\angle DCE)=\cos (\angle BAD)=\frac{23}{8\sqrt{11}}$ 을 대입합니다.

$\overline{FC}=4·\frac{23}{8\sqrt{11}}=\frac{23}{2\sqrt{11}}=\frac{23\sqrt{11}}{22}$

문제에서 $\overline{FC}=\frac{q}{p}\sqrt{11}$ 이라 하였으므로, $p=22,q=23$ 입니다.

$p$와 $q$는 서로소인 자연수 조건을 만족합니다.

따라서 $p+q=22+23=45$ 입니다.

[정답] 45

⚡ 실전용 풀이

step1. BC 길이

${\overline{BC}}^2=4^2+5^2-2·4·5·\frac{1}{8}=36$

$\therefore \overline{BC}=6$

step2. BD, CD 길이

$\overline{BD}=6\times \frac{1}{3}=2$

$\overline{CD}=6\times \frac{2}{3}=4$

step3. cos B

$\cos B=\frac{4^2+6^2-5^2}{2·4·6}=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$

step4. AD 길이

${\overline{AD}}^2=4^2+2^2-2·4·2·\frac{9}{16}=11$

$\therefore \overline{AD}=\sqrt{11}$

$(step5.cos(\angle BAD))$

$2^2=4^2+(\sqrt{11}{)}^2-2·4·\sqrt{11}·\cos (\angle BAD)$

$4=27-8\sqrt{11}\cos (\angle BAD)$

$\cos (\angle BAD)=\frac{23}{8\sqrt{11}}$

step6. 원주각

$\angle DCE=\angle BAD$   --- (호 BE에 대한 원주각)

step7. FC 길이

$\overline{FC}=\overline{CD}·\cos (\angle DCE)=4·\frac{23}{8\sqrt{11}}=\frac{23}{2\sqrt{11}}=\frac{23\sqrt{11}}{22}$

$p=22,q=23$

$\therefore p+q=45$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기