2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 4번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 4번
문제의 분류	고등학교 (함수의 연속)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=\{\begin{array}{cc}-x^2+a\hfill & (x<3)\hfill \\ 5x-a\hfill & (x\ge 3)\hfill \end{array}$ 이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점] ① 10 ② 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14

1. 문제의 요지

이 문제는 구간에 따라 다르게 정의된 함수가 경계점에서 연속이 되기 위한 조건을 이용하여 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=\{\begin{array}{cc}-x^2+a\hfill & (x<3)\hfill \\ 5x-a\hfill & (x\ge 3)\hfill \end{array}$
- 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 구간별로 정의된 함수가 경계점에서 연속일 조건을 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수가 실수 전체에서 연속이기 위해 확인해야 할 지점(경계점)을 파악합니다.

step2. 경계점에서의 좌극한과 우극한(함숫값)을 각각 구합니다.

step3. 좌극한과 우극한이 같다는 식을 세워 상수 $a$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 함수의 연속 조건: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 연속이려면 ${lim}_{x\to a^{-}}f(x)={lim}_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$ 가 성립해야 합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 구간에 따라 다르게 정의된 다항함수가 실수 전체에서 연속이려면, 식이 바뀌는 경계점에서의 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

step1. 함수가 실수 전체에서 연속이기 위해 확인해야 할 지점(경계점)을 파악합니다.

주어진 함수 $f(x)$는 $x<3$일 때 $-x^2+a$, $x\ge 3$일 때 $5x-a$로 정의되어 있습니다.

각각의 식은 다항함수이므로 주어진 구간 내에서는 항상 연속입니다.

따라서 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면, 식이 바뀌는 경계점인 $x=3$에서만 연속성을 확인하면 됩니다.

step2. 경계점에서의 좌극한과 우극한(함숫값)을 각각 구합니다.

$x=3$에서의 좌극한은 $x<3$일 때의 식을 사용합니다.

${lim}_{x\to 3^{-}}f(x)={lim}_{x\to 3^{-}}(-x^2+a)=-3^2+a=-9+a$

$x=3$에서의 우극한과 함숫값은 $x\ge 3$일 때의 식을 사용합니다.

${lim}_{x\to 3^{+}}f(x)=f(3)=5\times 3-a=15-a$

step3. 좌극한과 우극한이 같다는 식을 세워 상수 $a$의 값을 계산합니다.

$x=3$에서 연속이려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 다음 식이 성립합니다.

$-9+a=15-a$

[함정경고] 부호를 헷갈려 $-9+a=15+a$ 등으로 잘못 식을 세우지 않도록 주의해야 합니다.

이 방정식을 풀면,

$2a=24$

$a=12$

따라서 상수 $a$의 값은 12입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 경계점 확인

$x=3$에서 연속이어야 함

step2. 좌극한, 우극한 계산

${lim}_{x\to 3^{-}}f(x)=-9+a$

${lim}_{x\to 3^{+}}f(x)=15-a$

step3. a 계산

$-9+a=15-a$

$2a=24$

$\therefore a=12$

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