2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 7번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 7번
문제의 분류	고등학교 (미분법)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x)=5x^2+xf(x)$ 라 하자. $f(3)=2,f^{\prime }(3)=1$ 일 때, $g^{\prime }(3)$의 값은? [3점] ① 31 ② 32 ③ 33 ④ 34 ⑤ 35

1. 문제의 요지

이 문제는 함수의 곱의 미분법을 이용하여 주어진 함수의 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항함수 $f(x)$
- $g(x)=5x^2+xf(x)$
- $f(3)=2$
- $f^{\prime }(3)=1$

3. 풀이의 순서

이 문제는 곱의 미분법을 이용하여 도함수를 구한 후, 주어진 값을 대입하여 미분계수를 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 함수 $g(x)$의 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $g^{\prime }(x)$를 구합니다.

step2. 구한 $g^{\prime }(x)$ 식에 $x=3$을 대입합니다.

step3. 주어진 $f(3)$과 $f^{\prime }(3)$의 값을 대입하여 $g^{\prime }(3)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱의 미분법: 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$가 미분가능할 때, $(u(x)v(x){)}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 함수 $g(x)$가 $x$와 $f(x)$의 곱을 포함하고 있으므로, 미분할 때 반드시 곱의 미분법을 적용해야 합니다.

step1. 주어진 함수 $g(x)$의 양변을 $x$에 대하여 미분하여 $g^{\prime }(x)$를 구합니다.

주어진 함수는 $g(x)=5x^2+xf(x)$ 입니다.

양변을 $x$에 대하여 미분하면,

$g^{\prime }(x)=(5x^2{)}^{\prime }+(xf(x){)}^{\prime }$

이때, $xf(x)$ 부분은 두 함수의 곱이므로 곱의 미분법을 적용합니다.

$g^{\prime }(x)=10x+(x{)}^{\prime }f(x)+x(f(x){)}^{\prime }$

$g^{\prime }(x)=10x+1·f(x)+x·f^{\prime }(x)$

$g^{\prime }(x)=10x+f(x)+x{f}^{\prime }(x)$

[함정경고] $xf(x)$를 미분할 때 단순히 $1·f^{\prime }(x)$로 착각하기 쉽습니다. 반드시 곱의 미분법을 사용하여 $f(x)+x{f}^{\prime }(x)$로 계산해야 합니다.

step2. 구한 $g^{\prime }(x)$ 식에 $x=3$을 대입합니다.

우리가 구해야 하는 것은 $g^{\prime }(3)$의 값이므로, 위에서 구한 도함수 식에 $x=3$을 대입합니다.

$g^{\prime }(3)=10(3)+f(3)+3f^{\prime }(3)$

$g^{\prime }(3)=30+f(3)+3f^{\prime }(3)$

step3. 주어진 $f(3)$과 $f^{\prime }(3)$의 값을 대입하여 $g^{\prime }(3)$의 값을 계산합니다.

문제에서 주어진 조건인 $f(3)=2$, $f^{\prime }(3)=1$을 대입합니다.

$g^{\prime }(3)=30+2+3(1)$

$g^{\prime }(3)=30+2+3$

$g^{\prime }(3)=35$

따라서 $g^{\prime }(3)$의 값은 35입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 구하기

$g(x)=5x^2+xf(x)$

$g^{\prime }(x)=10x+f(x)+x{f}^{\prime }(x)$   --- (곱의 미분법 이용)

step2. x=3 대입

$g^{\prime }(3)=30+f(3)+3f^{\prime }(3)$

step3. 값 계산

$g^{\prime }(3)=30+2+3(1)$   --- (주어진 조건 대입)

$g^{\prime }(3)=35$

$\therefore ⑤$

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