2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 11번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 도함수의 활용)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

11. 시각 $t=0$일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 시각이 $t(t\ge 0)$일 때 점 P의 위치 $x$가 $x=t^3-t^2-t+1$ 이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보기> ㄱ. 시각 $t=1$일 때 점 P의 위치는 1이다. ㄴ. 시각 $t=1$일 때 점 P의 속도는 0이다. ㄷ. 출발한 후 점 P의 운동 방향이 바뀌는 시각에 점 P의 가속도는 4이다. ① ㄱ ② ㄴ ③ ㄷ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

1. 문제의 요지

이 문제는 위치 함수를 미분하여 속도와 가속도를 구하고, 이를 통해 점의 운동 상태를 분석할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 점 P의 위치 $x=t^3-t^2-t+1$ ($t\ge 0$)

3. 풀이의 순서

이 문제는 위치 함수를 미분하여 속도와 가속도 함수를 구한 뒤, 각 보기의 참/거짓을 판별하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 위치 함수를 미분하여 속도 함수와 가속도 함수를 구합니다.

step2. 보기 ㄱ을 확인하기 위해 $t=1$을 위치 함수에 대입합니다.

step3. 보기 ㄴ을 확인하기 위해 $t=1$을 속도 함수에 대입합니다.

step4. 보기 ㄷ을 확인하기 위해 속도가 0이 되는 시각을 찾고, 그 시각에서의 가속도를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 속도와 가속도: 위치 함수 $x(t)$를 시간에 대해 한 번 미분하면 속도 $v(t)$가 되고, 두 번 미분하면 가속도 $a(t)$가 됩니다.

- 운동 방향의 변화: 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 순간에 점의 운동 방향이 바뀝니다.

5. 구체적 풀이

step1. 위치 함수를 미분하여 속도와 가속도 함수를 구합니다.

점 P의 위치 함수는 $x(t)=t^3-t^2-t+1$ 입니다.

위치를 시간에 대해 미분하면 속도 $v(t)$가 됩니다.

$v(t)=x^{\prime }(t)=3t^2-2t-1$

속도를 시간에 대해 한 번 더 미분하면 가속도 $a(t)$가 됩니다.

$a(t)=v^{\prime }(t)=6t-2$

[키포인트] 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도가 된다는 사실을 기억하세요.

step2. 보기 ㄱ을 확인합니다.

시각 $t=1$일 때 점 P의 위치를 구하기 위해 $x(t)$에 $t=1$을 대입합니다.

$x(1)=1^3-1^2-1+1=0$

따라서 시각 $t=1$일 때 점 P의 위치는 0이므로, 보기 ㄱ은 거짓입니다.

step3. 보기 ㄴ을 확인합니다.

시각 $t=1$일 때 점 P의 속도를 구하기 위해 $v(t)$에 $t=1$을 대입합니다.

$v(1)=3(1{)}^2-2(1)-1=3-2-1=0$

따라서 시각 $t=1$일 때 점 P의 속도는 0이므로, 보기 ㄴ은 참입니다.

step4. 보기 ㄷ을 확인합니다.

점 P의 운동 방향이 바뀌는 시각은 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 순간, 즉 $v(t)=0$이 되는 시각입니다.

$v(t)=3t^2-2t-1=0$

인수분해하면 $(3t+1)(t-1)=0$ 입니다.

$t\ge 0$ 이므로 $t=1$ 입니다.

$t=1$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로, $t=1$일 때 운동 방향이 바뀝니다.

이때의 가속도를 구하기 위해 $a(t)$에 $t=1$을 대입합니다.

$a(1)=6(1)-2=4$

따라서 운동 방향이 바뀌는 시각에 점 P의 가속도는 4이므로, 보기 ㄷ은 참입니다.

[함정경고] 속도가 0이라고 해서 무조건 운동 방향이 바뀌는 것은 아닙니다. 속도의 부호가 바뀌는지 반드시 확인해야 합니다. 이 문제에서는 $t=1$ 좌우에서 부호가 바뀌므로 운동 방향이 바뀌는 것이 맞습니다.

결론적으로 옳은 보기는 ㄴ, ㄷ입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 속도와 가속도 함수

$x(t)=t^3-t^2-t+1$

$v(t)=x^{\prime }(t)=3t^2-2t-1$

$a(t)=v^{\prime }(t)=6t-2$

step2. ㄱ 확인

$x(1)=1-1-1+1=0\ne 1$   --- 거짓

step3. ㄴ 확인

$v(1)=3-2-1=0$   --- 참

step4. ㄷ 확인

$v(t)=(3t+1)(t-1)=0$

$t\ge 0$이므로 $t=1$

$t=1$ 좌우에서 $v(t)$ 부호 변화하므로 운동 방향 바뀜

$a(1)=6(1)-2=4$   --- 참

$\therefore ⑤$

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