2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 12번

고3 수학/(2026학년도) 2025년 6월 모평 고3 수학 공통과목

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 12번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 11. 10:12

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 6월 모의평가 (고3) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (수열의 귀납적 정의)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

다음 조건을 만족시키는 모든 수열

{a_{n}}

에 대하여

a_{4}

의 최댓값은? [4점] (가)

a_{1} = a_{3}

(나) 모든 자연수

n

에 대하여

(a_{n + 1} - a_{n} + 3) (a_{n + 1} - 2 a_{n}) = 0

이다. ① 9 ② 12 ③ 15 ④ 18 ⑤ 21

1. 문제의 요지

이 문제는 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 주어진 조건을 만족하는 모든 가능한 수열의 항을 추적하여 특정 항의 최댓값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수열

{a_{n}}

- (가)

a_{1} = a_{3}

- (나) 모든 자연수

n

에 대하여

(a_{n + 1} - a_{n} + 3) (a_{n + 1} - 2 a_{n}) = 0

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 귀납적 관계식을 두 가지 경우로 나누어 수형도처럼 전개하며 조건을 만족하는 초기항을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (나)를 해석하여 $a_{n + 1}$ 과 $a_{n}$ 의 관계식을 도출합니다.

step2. $a_{1}$ 을 미지수로 두고, $a_{2}$ , $a_{3}$ 의 가능한 모든 경우를 식으로 나타냅니다.

step3. 조건 (가) $a_{1} = a_{3}$ 을 이용하여 각 경우별로 $a_{1}$ 의 값을 구하고, 모순이 없는지 확인합니다.

step4. 구해진 $a_{3}$ 의 값을 바탕으로 가능한 $a_{4}$ 의 값들을 모두 구하고, 그 중 최댓값을 찾습니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 귀납적 정의: 이웃하는 항들 사이의 관계식을 통해 수열을 정의하는 방법입니다. 조건에 따라 여러 갈래로 나뉠 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조건 (나)의 이차식 형태는 $a_{n + 1}$ 이 $a_{n}$ 에 대해 두 가지 규칙 중 하나를 따른다는 것을 의미합니다. 이를 바탕으로 경우를 나누어 추적하는 것이 핵심입니다.

step1. 조건 (나) 해석

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $(a_{n + 1} - a_{n} + 3) (a_{n + 1} - 2 a_{n}) = 0$ 이므로,

$a_{n + 1} - a_{n} + 3 = 0$ 또는 $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 0$ 입니다.

즉, $a_{n + 1} = a_{n} - 3$ 또는 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ 입니다.

step2. $a_{1}$ 에서 $a_{3}$ 까지의 전개

$a_{1} = a$ 라고 합시다.

$n = 1$ 일 때, $a_{2}$ 는 다음 두 가지 중 하나입니다.

(1) $a_{2} = a - 3$

(2) $a_{2} = 2 a$

$n = 2$ 일 때, $a_{3}$ 는 $a_{2}$ 의 각 경우에 대해 다시 두 가지로 나뉩니다.

경우 (1) $a_{2} = a - 3$ 일 때:

- (1-1) $a_{3} = a_{2} - 3 = (a - 3) - 3 = a - 6$

- (1-2) $a_{3} = 2 a_{2} = 2 (a - 3) = 2 a - 6$

경우 (2) $a_{2} = 2 a$ 일 때:

- (2-1) $a_{3} = a_{2} - 3 = 2 a - 3$

- (2-2) $a_{3} = 2 a_{2} = 2 (2 a) = 4 a$

step3. 조건 (가)를 이용한 $a$ 값 도출

조건 (가)에서 $a_{1} = a_{3}$ 이므로, $a_{3} = a$ 가 되어야 합니다.

각 경우에 대해 확인해 봅시다.

- (1-1) $a = a - 6 \Rightarrow 0 = - 6$ (모순이므로 불가능)

- (1-2) $a = 2 a - 6 \Rightarrow a = 6$

이때 $a_{1} = 6, a_{2} = 3, a_{3} = 6$ 입니다.

- (2-1) $a = 2 a - 3 \Rightarrow a = 3$

이때 $a_{1} = 3, a_{2} = 6, a_{3} = 3$ 입니다.

- (2-2) $a = 4 a \Rightarrow 3 a = 0 \Rightarrow a = 0$

이때 $a_{1} = 0, a_{2} = 0, a_{3} = 0$ 입니다.

[함정경고] $a_{1} = a_{3}$ 조건을 만족하는 $a$ 의 값이 여러 개 나올 수 있으므로, 하나만 찾고 멈추지 말고 모든 경우를 끝까지 확인해야 합니다.

step4. $a_{4}$ 의 최댓값 구하기

이제 가능한 $a_{3}$ 의 값들로부터 $a_{4}$ 를 구합니다.

$a_{4} = a_{3} - 3$ 또는 $a_{4} = 2 a_{3}$ 입니다.

- $a_{3} = 6$ 인 경우 (1-2):

$a_{4} = 6 - 3 = 3$ 또는 $a_{4} = 2 i m e s 6 = 12$

- $a_{3} = 3$ 인 경우 (2-1):

$a_{4} = 3 - 3 = 0$ 또는 $a_{4} = 2 i m e s 3 = 6$

- $a_{3} = 0$ 인 경우 (2-2):

$a_{4} = 0 - 3 = - 3$ 또는 $a_{4} = 2 i m e s 0 = 0$

따라서 가능한 $a_{4}$ 의 값은 $3, 12, 0, 6, - 3$ 이며, 이 중 최댓값은 $12$ 입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 해석

$a_{n + 1} = a_{n} - 3$ 또는 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$

step2. & 3. $a_{1} = a_{3}$ 조건 적용

$a_{1} = a$ 라 하면

$a_{2} = a - 3$ 또는 $2 a$

1) $a_{2} = a - 3$ 일 때

$a_{3} = a - 6$ 또는 $2 a - 6$

$a_{1} = a_{3}$ 이므로 $a = a - 6$ (모순) 또는 $a = 2 a - 6 \Rightarrow a = 6$

$h e r e f o r e a_{3} = 6$

2) $a_{2} = 2 a$ 일 때

$a_{3} = 2 a - 3$ 또는 $4 a$

$a_{1} = a_{3}$ 이므로 $a = 2 a - 3 \Rightarrow a = 3$ 또는 $a = 4 a \Rightarrow a = 0$

$h e r e f o r e a_{3} = 3$ 또는 $0$

step4. $a_{4}$ 최댓값

$a_{4} = a_{3} - 3$ 또는 $2 a_{3}$

$a_{3} = 6 \Rightarrow a_{4} = 3, 12$

$a_{3} = 3 \Rightarrow a_{4} = 0, 6$

$a_{3} = 0 \Rightarrow a_{4} = - 3, 0$

$h e r e f o r e$ 최댓값은 $12$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기